La rotation est une transformation du plan qui généralise la notion de symétrie centrale : elle correspond à faire tourner les points du plan autour d’un point fixe, appelé centre, d’un certain angle. Comme toutes les isométries (symétries, translations), la rotation conserve les distances, les angles et l’alignement, ce qui en fait un outil puissant pour résoudre des problèmes de géométrie plane, notamment ceux faisant intervenir des figures régulières (triangle équilatéral, carré, etc.).
Définition de la rotation
Soit O un point du plan et θ un réel (mesure d’angle, en radians). On appelle rotation de centre O et d’angle θ, notée r(O ; θ), la transformation du plan qui, à tout point M du plan, associe le point M’ défini par : si M = O, alors M’ = O ; si M ≠ O, alors OM’ = OM (même distance au centre) et l’angle orienté formé par les vecteurs OM et OM’, noté (OM, OM’), est égal à θ modulo 2π, c’est-à-dire (OM, OM’) = θ [2π].
Autrement dit, le point M’ est obtenu en faisant tourner le point M autour de O d’un angle θ (dans le sens direct si θ > 0, dans le sens indirect si θ < 0), en conservant la distance au centre.
Cas particuliers importants : la rotation de centre O et d’angle π est la symétrie centrale de centre O (car (OM,OM’)=π signifie que M’ est le symétrique de M par rapport à O) ; la rotation de centre O et d’angle 0 (ou 2kπ) est l’identité (chaque point est invariant).
Exemple traité : soit ABC un triangle équilatéral direct (c’est-à-dire tel que l’angle orienté (AB, AC) = π/3 [2π]) de centre de gravité O. La rotation de centre A et d’angle π/3 envoie B sur un point M tel que AM = AB et (AB, AM) = π/3 [2π] ; or, par définition du triangle équilatéral direct, cela signifie exactement que M = C. Donc r(A ; π/3)(B) = C.
Propriétés de conservation de la rotation
La rotation est une isométrie : elle conserve les distances. Autrement dit, si r est une rotation et si M’ et N’ sont les images respectives de deux points M et N par r, alors M’N’ = MN.
En conséquence, comme toute isométrie, une rotation conserve : l’alignement des points (l’image d’une droite est une droite) ; le parallélisme et l’orthogonalité des droites ; les angles géométriques (non orientés) ; les aires ; le barycentre (l’image du barycentre de points pondérés est le barycentre des images affectées des mêmes coefficients). En particulier, l’image du milieu d’un segment est le milieu du segment image, et l’image d’un triangle est un triangle qui lui est superposable (mêmes longueurs de côtés, mêmes angles).
De plus, si r est la rotation de centre O et d’angle θ, alors pour tous points M et N d’images respectives M’ et N’, l’angle orienté formé par les vecteurs MN et M’N’ vaut θ [2π] (chaque vecteur tourne du même angle θ).
Exemple traité : soit r la rotation de centre O et d’angle π/2, et soit ABC un triangle tel que AB = 5 cm, BC = 4 cm et AC = 3 cm. Notons A’, B’, C’ les images respectives de A, B, C par r. Puisque r est une isométrie, on a immédiatement A’B’ = AB = 5 cm, B’C’ = BC = 4 cm, A’C’ = AC = 3 cm : le triangle A’B’C’ a exactement les mêmes longueurs de côtés que ABC (il lui est superposable, obtenu par une rotation d’un quart de tour).
Image d’une droite et d’un cercle par une rotation
Image d’une droite : l’image d’une droite (D) par une rotation r de centre O et d’angle θ est une droite (D’). L’angle formé par les directions de (D) et (D’) est égal à θ modulo π. En particulier, si θ est un multiple de π (par exemple pour la symétrie centrale, θ=π), l’image de (D) est une droite parallèle à (D).
Image d’un cercle : l’image d’un cercle (C) de centre I et de rayon R par une rotation r est un cercle (C’) de même rayon R, dont le centre est I’ = r(I) (l’image du centre par la rotation). Ce résultat découle directement du fait que la rotation conserve les distances : un point M appartient à (C) si et seulement si IM = R, et son image M’ vérifie alors I’M’ = IM = R (car r conserve les distances), donc M’ appartient au cercle de centre I’ et de rayon R.
Exemple traité : soit (C) le cercle de centre I(2 ; 1) et de rayon R = 3, et soit r la rotation de centre O (origine du repère) et d’angle π/2 (sens direct). On rappelle que r transforme le point de coordonnées (x;y) en le point de coordonnées (-y;x). L’image de (C) par r est le cercle (C’) de même rayon 3, centré au point I’ = r(I). Comme I a pour coordonnées (2;1), I’ a pour coordonnées (-1 ; 2). Le cercle (C’) a donc pour centre I'(-1;2) et pour rayon 3.
Composition de deux rotations de même centre
Propriété : si r₁ est la rotation de centre O et d’angle θ₁, et r₂ est la rotation de centre O et d’angle θ₂ (même centre O), alors la composée r₂∘r₁ (on applique d’abord r₁, puis r₂) est la rotation de centre O et d’angle θ₁+θ₂. Autrement dit, les angles s’additionnent lorsque le centre est commun.
En particulier, la composée d’une rotation de centre O et d’angle θ avec elle-même est la rotation de centre O et d’angle 2θ. Et la rotation de centre O et d’angle θ, composée avec la rotation de centre O et d’angle -θ, donne la rotation d’angle 0, c’est-à-dire l’identité : toute rotation r(O;θ) est donc bijective, de réciproque r(O;-θ).
Exemple traité : soit r₁ la rotation de centre O et d’angle π/3, et r₂ la rotation de centre O et d’angle π/6. La composée r₂∘r₁ est la rotation de centre O et d’angle π/3 + π/6 = 2π/6 + π/6 = 3π/6 = π/2. Ainsi, appliquer r₁ puis r₂ à un point M revient à lui appliquer directement la rotation de centre O et d’angle π/2.
Autre exemple : quelle est la transformation réciproque de la rotation r de centre A et d’angle 2π/3 ? D’après la propriété précédente, r⁻¹ est la rotation de centre A et d’angle -2π/3 (ou, de façon équivalente, d’angle 4π/3).
Utilisation de la rotation pour résoudre un problème de géométrie
La rotation est un outil très efficace pour démontrer des propriétés de figures possédant une symétrie de rotation (triangle équilatéral, carré, hexagone régulier…), en particulier pour montrer que des longueurs sont égales, sans recourir à des calculs de coordonnées.
Exemple traité : soit ABC un triangle équilatéral direct de centre O (centre de gravité, qui est aussi le centre du cercle circonscrit). On sait que la rotation r de centre O et d’angle 2π/3 envoie A sur B, B sur C, et C sur A. Soit M un point quelconque du plan, et soient M₁ = M, M₂ = r(M₁), M₃ = r(M₂) les images successives de M par r. Montrons que le triangle M₁M₂M₃ est équilatéral.
Puisque r est une isométrie qui transforme M₁ en M₂ et M₂ en M₃, elle transforme le segment [M₁M₂] en [M₂M₃], donc M₂M₃ = M₁M₂ (conservation des distances). De plus, la rotation r∘r (de centre O et d’angle 4π/3) transforme M₁ en M₃ (car r(r(M₁)) = r(M₂) = M₃) et transforme M₂ en M₁ (car en trois applications de r on retrouve M₁, r∘r∘r étant la rotation d’angle 2π, c’est-à-dire l’identité) : donc l’image du segment [M₁M₂] par r∘r est [M₃M₁], d’où M₃M₁ = M₁M₂. On obtient ainsi M₁M₂ = M₂M₃ = M₃M₁ : le triangle M₁M₂M₃ est bien équilatéral (éventuellement réduit à un point si M = O).
Exercices
1. ABCD est un carré direct de centre O (les sommets sont nommés dans le sens direct). 1) Justifier que la rotation r de centre O et d’angle π/2 transforme A en B. 2) Déterminer les images de B, C et D par cette même rotation r.
2. Soit r la rotation de centre O et d’angle -π/3 (sens indirect), et soit A un point tel que OA = 4 cm. On note A’ = r(A). 1) Calculer OA’. 2) Donner la mesure de l’angle orienté (OA, OA’).
3. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; I, J). Soit r la rotation de centre O et d’angle π/2. On rappelle que r transforme le point M(x;y) en le point M'(-y;x). Déterminer les images des points A(3;-1), B(0;4) et C(-2;-5) par r.
4. Soit (C) le cercle de centre I(1;3) et de rayon 2, et soit r la rotation de centre O et d’angle π (symétrie centrale de centre O). 1) Rappeler pourquoi l’image d’un cercle par une rotation est un cercle de même rayon. 2) Déterminer le centre et le rayon du cercle (C’) image de (C) par r.
5. Soit r₁ la rotation de centre O et d’angle 3π/4, et r₂ la rotation de centre O et d’angle -π/4. 1) Déterminer la nature précise (centre et angle) de la rotation r₂∘r₁. 2) Déterminer la rotation réciproque de r₁.
6. ABC est un triangle équilatéral direct de côté 6 cm. Soit r la rotation de centre A qui transforme B en C. 1) Préciser l’angle de la rotation r (justifier). 2) Le point M est un point du segment [AB] tel que AM = 2 cm. On pose M’ = r(M). Calculer AM’ et la distance MM’ (on pourra remarquer que le triangle AMM’ est un triangle particulier).
7. ABCD est un carré direct de centre O. Soit r la rotation de centre O et d’angle π/2 qui transforme A en B, B en C, C en D et D en A. Soit M un point quelconque du plan, distinct de O, et soient M₁ = M, M₂ = r(M₁), M₃ = r(M₂), M₄ = r(M₃). 1) Justifier que r(M₄) = M₁. 2) Montrer que le quadrilatère M₁M₂M₃M₄ a ses quatre côtés de même longueur. 3) Montrer que ses diagonales [M₁M₃] et [M₂M₄] ont même longueur et même milieu O. Quelle est alors la nature du quadrilatère M₁M₂M₃M₄ ?
Corrigés
1. 1) ABCD étant un carré direct de centre O, O est équidistant des quatre sommets (centre du cercle circonscrit), donc OA = OB, et l’angle orienté (OA, OB) vaut π/2 [2π] (les sommets consécutifs d’un carré direct sont séparés d’un quart de tour direct autour du centre). Par définition de la rotation, r(O;π/2) transforme A en l’unique point M tel que OM = OA et (OA,OM) = π/2 : ce point est exactement B. Donc r(A) = B. 2) Par le même raisonnement (OB=OC=OD=OA et angle π/2 entre chaque paire de sommets consécutifs), on obtient r(B) = C, r(C) = D et r(D) = A.
2. 1) Une rotation conserve les distances au centre, donc OA’ = OA = 4 cm. 2) Par définition de la rotation d’angle -π/3, l’angle orienté (OA,OA’) vaut -π/3 [2π] (soit un sixième de tour dans le sens indirect, c’est-à-dire -60°).
3. On applique la formule (x;y) ↦ (-y;x). Pour A(3;-1) : image (-(-1);3) = (1;3). Pour B(0;4) : image (-4;0). Pour C(-2;-5) : image (-(-5);-2) = (5;-2).
4. 1) La rotation conserve les distances (c’est une isométrie) : si M appartient à (C), alors IM = 2, et son image M’ vérifie I’M’ = IM = 2, où I’ = r(I) ; donc M’ appartient au cercle de centre I’ et de rayon 2. Réciproquement, tout point de ce cercle est image d’un point de (C) par la rotation réciproque. Le cercle image a donc le même rayon que (C). 2) La rotation de centre O et d’angle π transforme un point (x;y) en (-x;-y). Donc I’ = r(I) a pour coordonnées (-1;-3). Le cercle (C’) a pour centre I'(-1;-3) et pour rayon 2.
5. 1) Comme r1 et r2 ont le même centre O, r₂∘r₁ est la rotation de centre O et d’angle (3π/4) + (-π/4) = 3π/4 – π/4 = 2π/4 = π/2 : r₂∘r₁ est donc la rotation de centre O et d’angle π/2. 2) La réciproque de la rotation de centre O et d’angle θ est la rotation de centre O et d’angle -θ. La réciproque de r1 (angle 3π/4) est donc la rotation de centre O et d’angle -3π/4.
6. 1) ABC étant équilatéral direct, on a AB = AC = 6 cm et l’angle orienté (AB,AC) = π/3 [2π]. La rotation r de centre A qui transforme B en C doit vérifier : AC = AB (ce qui est vrai, AB=AC=6 cm, donc le point image de B est bien à la bonne distance de A) et l’angle orienté (AB,AC) est égal à l’angle de la rotation. Donc r est la rotation de centre A et d’angle π/3. 2) M appartient au segment [AB], donc M est sur la demi-droite [AB). Puisque r est une isométrie, AM’ = AM = 2 cm (conservation des distances au centre). De plus, M étant sur la demi-droite [AB), l’angle orienté (AM,AM’) est égal à l’angle orienté (AB,AC) = π/3 (même demi-droite de départ). Le triangle AMM’ est donc isocèle en A avec AM = AM’ = 2 cm et un angle au sommet A égal à π/3 (60°) : un triangle isocèle dont l’angle au sommet vaut 60° est équilatéral. Donc MM’ = AM = AM’ = 2 cm.
7. 1) La composée r∘r∘r∘r (r appliquée quatre fois de suite) est, d’après la propriété de composition des rotations de même centre, la rotation de centre O et d’angle 4×(π/2) = 2π, c’est-à-dire l’identité. Comme M₂ = r(M₁), M₃ = r(M₂) = r∘r(M₁), M₄ = r(M₃) = r∘r∘r(M₁), on a r(M₄) = r∘r∘r∘r(M₁) = identité(M₁) = M₁. 2) Comme r est une isométrie qui transforme M₁ en M₂, M₂ en M₃, M₃ en M₄, et M₄ en M₁ (question 1), elle transforme le segment [M₁M₂] en [M₂M₃], donc M₂M₃ = M₁M₂ (conservation des distances). De même, M₃M₄ = M₂M₃ (image de [M₂M₃] par r) et M₄M₁ = M₃M₄ (image de [M₃M₄] par r). On obtient donc M₁M₂ = M₂M₃ = M₃M₄ = M₄M₁ : les quatre côtés du quadrilatère M₁M₂M₃M₄ ont la même longueur. 3) La rotation r∘r est la rotation de centre O et d’angle 2×(π/2) = π, c’est-à-dire la symétrie centrale de centre O. Or r∘r transforme M₁ en M₃ (car r(r(M₁)) = r(M₂) = M₃) : donc M₃ est le symétrique de M₁ par rapport à O, ce qui signifie que O est le milieu de [M₁M₃]. De même, r∘r transforme M₂ en M₄, donc O est aussi le milieu de [M₂M₄]. Les diagonales [M₁M₃] et [M₂M₄] ont donc le même milieu O, donc elles se coupent en O. De plus, la symétrie centrale de centre O conserve les distances, donc OM₁ = OM₃ et OM₂ = OM₄, c’est-à-dire M₁M₃ = 2×OM₁ et M₂M₄ = 2×OM₂ ; or OM₂ = OM₁ (car r conserve les distances au centre), donc M₁M₃ = M₂M₄ : les diagonales ont même longueur. Un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux, dont les diagonales se coupent en leur milieu commun et ont même longueur, est un carré. Le quadrilatère M₁M₂M₃M₄ est donc un carré, de centre O.
