L’étude de la rotation d’un solide autour d’un axe fixe permet de décrire le mouvement des systèmes tournants (roues, poulies, moteurs) à l’aide de grandeurs angulaires, en complément des grandeurs linéaires étudiées jusqu’ici.
Repérage angulaire
La position d’un solide en rotation autour d’un axe fixe est repérée par son abscisse angulaire θ(t), exprimée en radians (rad). La relation avec l’angle en degrés est θ(rad) = θ(°) × π/180. Un tour complet correspond à θ = 2π rad = 360°.
Vitesse angulaire
La vitesse angulaire ω est la dérivée de l’abscisse angulaire par rapport au temps : ω = dθ/dt, exprimée en rad/s. Un point M du solide situé à la distance R de l’axe a une vitesse linéaire v = ω × R.
Mouvement de rotation uniforme
Dans un mouvement de rotation uniforme, ω est constante et θ(t) = θ₀ + ω×t. La période de rotation T (temps pour un tour complet) vérifie T = 2π/ω, et la fréquence de rotation n = 1/T (en tours par seconde, tr/s, ou en tr/min après conversion).
Moment d’inertie et moment cinétique
Le moment d’inertie J d’un solide par rapport à l’axe de rotation caractérise la répartition de sa masse par rapport à cet axe (plus la masse est éloignée de l’axe, plus J est grand). Le moment cinétique du solide par rapport à l’axe est défini par L = J × ω.
Exercice d’application
Exercice 1 — Convertir un angle de 150° en radians.
Exercice 2 — Une roue tourne à la vitesse angulaire constante ω = 10 rad/s. Calculer la vitesse linéaire d’un point situé à 0,2 m de l’axe.
Exercice 3 — Calculer la période et la fréquence de rotation d’un disque tournant à ω = 20π rad/s.
Exercice 4 — Un point à la périphérie d’une roue de rayon 0,3 m a une vitesse linéaire de 6 m/s. Calculer la vitesse angulaire de la roue.
Exercice 5 — Deux points A et B d’un même solide en rotation sont situés respectivement à 0,1 m et 0,4 m de l’axe. Comparer leurs vitesses linéaires.
Exercice 6 — Qu’est-ce qui distingue le moment d’inertie de deux solides de même masse mais de répartition différente autour de l’axe ?
Exercice 7 — Une roue effectue 300 tours par minute. Convertir cette fréquence en tr/s puis calculer la vitesse angulaire correspondante.
Corrigés
Corrigé 1 — θ(rad) = 150 × π/180 = 5π/6 ≈ 2,62 rad.
Corrigé 2 — v = ω × R = 10 × 0,2 = 2 m/s.
Corrigé 3 — T = 2π/ω = 2π/(20π) = 0,1 s ; n = 1/T = 10 tr/s.
Corrigé 4 — ω = v/R = 6/0,3 = 20 rad/s.
Corrigé 5 — Elles ont la même vitesse angulaire ω (solide indéformable), mais v_A = ω×0,1 est 4 fois plus petite que v_B = ω×0,4 : les points les plus éloignés de l’axe ont une vitesse linéaire plus grande.
Corrigé 6 — Le solide dont la masse est répartie plus loin de l’axe a un moment d’inertie plus grand, à masse totale égale.
Corrigé 7 — n = 300/60 = 5 tr/s ; ω = 2π×n = 10π ≈ 31,4 rad/s.
