I. Rappel : effectif, fréquence, moyenne pondérée
L’effectif d’une valeur (ou d’une classe) est le nombre de fois où elle apparaît dans la série statistique. L’effectif total, noté N, est la somme de tous les effectifs.
La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total : fréquence = effectif ÷ effectif total. On l’exprime souvent en pourcentage, en multipliant ce quotient par 100.
La moyenne pondérée d’une série est la somme des produits (effectif × valeur), divisée par l’effectif total : moyenne = (somme des effectif × valeur) ÷ effectif total.
II. Regrouper les données en classes : l’histogramme
Lorsque les valeurs d’une série sont nombreuses ou continues (des mesures, par exemple), on les regroupe en classes : des intervalles de même amplitude, comme [0 ; 5[, [5 ; 10[, [10 ; 15[, etc.
Pour chaque classe, on compte l’effectif : le nombre de valeurs de la série qui appartiennent à cet intervalle.
Un histogramme représente ces classes par des rectangles juxtaposés, sans espace entre eux, dont la hauteur correspond à l’effectif (ou à la fréquence) de chaque classe.
III. Les effectifs cumulés croissants
L’effectif cumulé croissant d’une valeur (ou d’une classe) est la somme de son effectif et des effectifs de toutes les valeurs (ou classes) qui la précèdent.
Le dernier effectif cumulé croissant est toujours égal à l’effectif total N de la série : c’est une bonne façon de vérifier ses calculs.
IV. La médiane d’une série statistique
La médiane d’une série est une valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
Si le nombre de valeurs N est impair, la médiane est la valeur du milieu, de rang (N+1) ÷ 2 dans la série ordonnée.
Si N est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs N ÷ 2 et (N ÷ 2) + 1.
On peut aussi repérer la médiane à l’aide des effectifs cumulés croissants : c’est la première valeur (ou classe) dont l’effectif cumulé croissant atteint ou dépasse le rang médian recherché.
V. Méthode : construire un tableau statistique et déterminer la médiane
1) Ordonner les données (ou les classes) par ordre croissant.
2) Calculer l’effectif total N en additionnant tous les effectifs.
3) Calculer les effectifs cumulés croissants, ligne par ligne, en ajoutant l’effectif de chaque ligne à celui des lignes précédentes.
4) Repérer le rang médian : (N+1) ÷ 2 si N est impair, ou les rangs N ÷ 2 et (N ÷ 2) + 1 si N est pair.
5) Utiliser la colonne des effectifs cumulés croissants pour trouver la valeur (ou la classe) correspondant à ce rang, et en déduire la médiane.
Exercices
Exercice 1 : Voici les tailles (en cm) de 9 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant : 142, 145, 147, 149, 150, 152, 153, 155, 158. Déterminer la médiane de cette série.
Exercice 2 : Un devoir a été noté par 20 élèves selon le tableau suivant : note 8 (effectif 3), note 10 (effectif 5), note 12 (effectif 6), note 14 (effectif 4), note 16 (effectif 2). Calculer la moyenne pondérée de la classe.
Exercice 3 : En reprenant le tableau de l’exercice 2, calculer les effectifs cumulés croissants, puis déterminer la médiane de cette série de 20 notes.
Exercice 4 : On a mesuré la masse (en kg) de 30 sacs, regroupés en classes : [0 ; 5[ (effectif 4), [5 ; 10[ (effectif 9), [10 ; 15[ (effectif 11), [15 ; 20[ (effectif 6). 1) Vérifier que l’effectif total est bien égal à 30. 2) Construire le tableau des effectifs cumulés croissants.
Exercice 5 : Un club sportif a relevé l’âge de ses 25 membres, regroupés en classes : [10 ; 14[ (effectif 6), [14 ; 18[ (effectif 10), [18 ; 22[ (effectif 7), [22 ; 26[ (effectif 2). 1) Calculer l’effectif total et vérifier qu’il correspond bien aux 25 membres. 2) Calculer les effectifs cumulés croissants. 3) Dans quelle classe se trouve la médiane ?
Corrigés
Corrigé 1 : N = 9 (nombre impair de valeurs), donc le rang médian est (9+1) ÷ 2 = 5. La 5ᵉ valeur de la série ordonnée est 150. La médiane est donc égale à 150 cm.
Corrigé 2 : Moyenne = (8×3 + 10×5 + 12×6 + 14×4 + 16×2) ÷ 20 = (24 + 50 + 72 + 56 + 32) ÷ 20 = 234 ÷ 20 = 11,7. La moyenne de la classe est 11,7 sur 20.
Corrigé 3 : Effectifs cumulés croissants : note 8 → 3 ; note 10 → 3+5=8 ; note 12 → 8+6=14 ; note 14 → 14+4=18 ; note 16 → 18+2=20. Comme N = 20 est pair, les rangs médians sont 10 et 11. L’effectif cumulé atteint 14 (donc au moins 10 et 11) à la note 12 : les 10ᵉ et 11ᵉ valeurs sont toutes les deux égales à 12. La médiane est donc (12+12) ÷ 2 = 12.
Corrigé 4 : 1) 4 + 9 + 11 + 6 = 30, l’effectif total est bien conforme. 2) Effectifs cumulés croissants : [0 ; 5[ → 4 ; [5 ; 10[ → 4+9=13 ; [10 ; 15[ → 13+11=24 ; [15 ; 20[ → 24+6=30.
Corrigé 5 : 1) 6 + 10 + 7 + 2 = 25, l’effectif total correspond bien aux 25 membres. 2) Effectifs cumulés croissants : [10 ; 14[ → 6 ; [14 ; 18[ → 6+10=16 ; [18 ; 22[ → 16+7=23 ; [22 ; 26[ → 23+2=25. 3) Le rang médian correspond à la 13ᵉ position (N ÷ 2 = 12,5, on prend le rang supérieur). L’effectif cumulé atteint 16 (≥ 13) dans la classe [14 ; 18[, alors que la classe précédente ne totalise que 6 (< 13). La médiane se trouve donc dans la classe [14 ; 18[.
