Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ. Ce chapitre introduit le vocabulaire, les modes de génération et les propriétés fondamentales des suites.
Définition et modes de génération
Une suite (un) peut être définie de façon explicite (un=f(n) pour une fonction f donnée) ou par une relation de récurrence (u0 donné, et un+1=f(un) pour tout n).
Suites arithmétiques
Une suite (un) est arithmétique de raison r si pour tout n, un+1=un+r. Terme général : un=u0+nr (ou un=up+(n-p)r). Somme des n+1 premiers termes : S=u0+u1+…+un = (n+1)×(u0+un)/2.
Suites géométriques
Une suite (un) est géométrique de raison q (q≠0) si pour tout n, un+1=q×un. Terme général : un=u0×qn. Somme des n+1 premiers termes (q≠1) : S=u0×(1-qn+1)/(1-q).
Sens de variation et bornes d’une suite
(un) est croissante si pour tout n, un+1≥un (on étudie souvent le signe de un+1-un). (un) est majorée s’il existe M tel que pour tout n, un≤M ; minorée s’il existe m tel que un≥m ; bornée si elle est majorée et minorée.
Exercices
Exercice 1 — (u_n) est arithmétique de premier terme u₀=3 et de raison r=5. Calculer u₁₀
Exercice 2 — (v_n) est géométrique de premier terme v₀=2 et de raison q=3. Calculer v₄
Exercice 3 — Calculer la somme S=1+2+3+…+100 en utilisant la formule des suites arithmétiques
Exercice 4 — Soit u_n=2n+1 pour tout n∈ℕ. Montrer que (u_n) est arithmétique et préciser sa raison
Exercice 5 — Soit u_n définie par u₀=1 et u_{n+1}=2u_n+1. Calculer u₁, u₂ et u₃
Exercice 6 — Étudier le sens de variation de la suite u_n=n²
Exercice 7 — Montrer que la suite u_n=1/(n+1) est minorée par 0 pour tout n∈ℕ
Corrigés
Corrigé 1 — u₁₀ = u₀+10r = 3+10×5 = 53
Corrigé 2 — v₄ = v₀×q⁴ = 2×3⁴ = 2×81 = 162
Corrigé 3 — S = (100+1)×(1+100)/2 = 101×101/2 = 5050
Corrigé 4 — u_{n+1}-u_n = 2(n+1)+1-(2n+1) = 2n+2+1-2n-1 = 2, constant, donc (u_n) est arithmétique de raison r=2
Corrigé 5 — u₁=2×1+1=3, u₂=2×3+1=7, u₃=2×7+1=15
Corrigé 6 — u_{n+1}-u_n = (n+1)²-n² = 2n+1 > 0 pour tout n∈ℕ, donc (u_n) est strictement croissante
Corrigé 7 — Pour tout n∈ℕ, n+1≥1>0, donc 1/(n+1)>0≥0 : la suite est bien minorée par 0
