Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ (ou sur une partie de ℕ) à valeurs réelles. Les suites interviennent naturellement dans la modélisation de phénomènes évoluant par étapes discrètes : intérêts composés, évolution d’une population, etc. Dans ce chapitre, on étudie les différents modes de génération d’une suite, son sens de variation, ainsi que deux familles particulièrement importantes : les suites arithmétiques et les suites géométriques.
Généralités : définition et modes de génération d’une suite
Une suite numérique (u_n) est une fonction u définie sur ℕ (ou sur {n ∈ ℕ ; n ≥ n₀}) à valeurs dans ℝ : à chaque entier n, elle associe un réel noté u_n (appelé terme d’indice n, ou terme général). Une suite peut être définie de deux façons principales.
Définition explicite : u_n est donné directement en fonction de n, sous la forme u_n = f(n), où f est une fonction. Exemple : la suite définie par u_n = 2n² – 3 pour tout n ∈ ℕ. On calcule u_0 = 2×0-3 = -3, u_1 = 2×1-3 = -1, u_2 = 2×4-3 = 5.
Définition par récurrence : on donne le premier terme (ou les premiers termes) et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du (ou des) précédent(s), de la forme u_(n+1) = f(u_n). Exemple : soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_(n+1) = 3u_n + 2 pour tout n ∈ ℕ. On calcule u_1 = 3×1+2 = 5, u_2 = 3×5+2 = 17, u_3 = 3×17+2 = 53. Contrairement au cas explicite, on ne peut pas calculer directement u_100 sans connaître tous les termes précédents (sauf si l’on trouve une formule explicite équivalente).
Sens de variation d’une suite
Une suite (u_n) est dite croissante (respectivement strictement croissante) si, pour tout n, u_(n+1) ≥ u_n (respectivement u_(n+1) > u_n). Elle est dite décroissante (resp. strictement décroissante) si, pour tout n, u_(n+1) ≤ u_n (resp. u_(n+1) < u_n). Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Méthode 1 (signe de la différence) : on étudie le signe de u_(n+1) – u_n. Si u_(n+1) – u_n ≥ 0 pour tout n, la suite est croissante ; si u_(n+1) – u_n ≤ 0 pour tout n, elle est décroissante.
Exemple traité : soit u_n = n² – 4n. Calculons u_(n+1) – u_n = (n+1)² – 4(n+1) – (n² – 4n) = n²+2n+1-4n-4-n²+4n = 2n – 3. Pour n ≥ 2, on a 2n – 3 ≥ 1 > 0, donc la suite est croissante à partir du rang 2. En revanche, u_1 – u_0 = -3 – 0 < 0, donc elle décroît d'abord entre les rangs 0 et 1 : la suite n'est pas monotone sur ℕ tout entier, mais elle est croissante à partir de n=2.
Méthode 2 (quotient, pour une suite à termes strictement positifs) : on compare le quotient u_(n+1)/u_n à 1. Si u_(n+1)/u_n ≥ 1 pour tout n, la suite est croissante ; si u_(n+1)/u_n ≤ 1, elle est décroissante. Exemple : soit v_n = 3^n (n∈ℕ), à termes strictement positifs. On a v_(n+1)/v_n = 3^(n+1)/3^n = 3 ≥ 1, donc (v_n) est strictement croissante.
Suites arithmétiques
Une suite (u_n) est arithmétique s’il existe un réel r, appelé raison, tel que pour tout n : u_(n+1) = u_n + r. Autrement dit, on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r.
Terme général : si (u_n) est arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, alors pour tout n ∈ ℕ : u_n = u_0 + n×r. Plus généralement, pour tous entiers n et p : u_n = u_p + (n-p)×r.
Somme des termes : la somme S = u_0 + u_1 + … + u_n des (n+1) premiers termes d’une suite arithmétique vaut S = (n+1) × (u_0 + u_n)/2, c’est-à-dire (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme)/2.
Exemple traité : soit (u_n) arithmétique de premier terme u_0 = 5 et de raison r = 3. Alors u_n = 5+3n pour tout n, donc u_10 = 5+30 = 35. La somme S = u_0+u_1+…+u_10 des 11 premiers termes vaut S = 11×(5+35)/2 = 11×40/2 = 11×20 = 220.
Une suite arithmétique se reconnaît aussi au fait que sa représentation graphique (les points (n ; u_n)) est constituée de points alignés, et que la différence u_(n+1) – u_n est constante et égale à r.
Suites géométriques
Une suite (u_n) à termes non nuls est géométrique s’il existe un réel q, appelé raison, tel que pour tout n : u_(n+1) = q × u_n. On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q.
Terme général : si (u_n) est géométrique de premier terme u_0 et de raison q, alors pour tout n ∈ ℕ : u_n = u_0 × q^n. Plus généralement, u_n = u_p × q^(n-p).
Somme des termes (pour q ≠ 1) : S = u_0 + u_1 + … + u_n = u_0 × (1 – q^(n+1))/(1 – q), c’est-à-dire (premier terme) × (1 – raison^(nombre de termes))/(1 – raison).
Exemple traité : soit (u_n) géométrique de premier terme u_0 = 3 et de raison q = 2. Alors u_n = 3×2^n, donc u_5 = 3×32 = 96. La somme S des 6 premiers termes (u_0 à u_5) vaut S = 3×(1-2^6)/(1-2) = 3×(1-64)/(-1) = 3×(-63)/(-1) = 3×63 = 189. Vérification : 3+6+12+24+48+96 = 189, ce qui confirme le résultat.
Suites majorées, minorées, bornées, et démonstration par récurrence
Une suite (u_n) est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout n, u_n ≤ M. Elle est minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout n, u_n ≥ m. Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Pour une suite définie par récurrence, on démontre souvent une propriété (majoration, minoration, monotonie) par un raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au rang initial (initialisation), puis on montre que si elle est vraie à un rang n quelconque, elle l’est encore au rang n+1 (hérédité) ; on conclut alors qu’elle est vraie pour tout n (principe de récurrence).
Exemple traité : soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_(n+1) = (1/2)u_n + 3. Montrons par récurrence que, pour tout n ∈ ℕ, 0 ≤ u_n ≤ 6.
Initialisation : u_0 = 1, et 0 ≤ 1 ≤ 6 : la propriété est vraie au rang 0. Hérédité : supposons que pour un entier n donné, 0 ≤ u_n ≤ 6. Alors, en multipliant par 1/2 (positif, l’ordre est conservé) : 0 ≤ (1/2)u_n ≤ 3, puis en ajoutant 3 : 3 ≤ (1/2)u_n + 3 ≤ 6, c’est-à-dire 3 ≤ u_(n+1) ≤ 6. En particulier 0 ≤ u_(n+1) ≤ 6, donc la propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout n ∈ ℕ, 0 ≤ u_n ≤ 6 ; la suite (u_n) est donc bornée.
Exercices
1. Soit (u_n) la suite définie explicitement par u_n = 3n – 5, pour tout n ∈ ℕ, et soit (v_n) la suite définie par récurrence par v_0 = 2 et v_(n+1) = 2v_n – 1, pour tout n ∈ ℕ. Calculer u_0, u_1, u_5 ainsi que v_1, v_2, v_3.
2. Parmi les suites suivantes, préciser celles qui sont arithmétiques (donner alors la raison) et celles qui sont géométriques (donner alors la raison) : a) u_n = 4n – 7 ; b) v_n = 5×(0,5)^n ; c) w_n = n² + 1.
3. Soit (u_n) la suite définie par u_n = n² – 6n + 1, pour tout n ∈ ℕ. Étudier le sens de variation de la suite (u_n) en étudiant le signe de u_(n+1) – u_n. La suite est-elle monotone sur ℕ ?
4. Soit (u_n) une suite arithmétique de premier terme u_0 = 7 et de raison r = -2. 1) Exprimer u_n en fonction de n. 2) Calculer u_20. 3) Déterminer l’entier n tel que u_n = -53. 4) Calculer la somme S = u_0+u_1+…+u_20.
5. Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme u_0 = 2 et de raison q = 3. 1) Exprimer u_n en fonction de n. 2) Calculer u_6. 3) Calculer la somme S = u_0+u_1+…+u_6 des 7 premiers termes.
6. Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 3 et u_(n+1) = 2u_n – 1 pour tout n ∈ ℕ. On pose, pour tout n ∈ ℕ, v_n = u_n – 1. 1) Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 2) Exprimer v_n puis u_n en fonction de n. 3) Calculer u_10.
7. Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 3 et u_(n+1) = 3u_n – 4 pour tout n ∈ ℕ. On pose v_n = u_n – 2 pour tout n ∈ ℕ. 1) Montrer que (v_n) est géométrique, préciser sa raison et son premier terme, puis exprimer v_n et u_n en fonction de n. 2) Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈ ℕ, u_n ≥ 2. 3) En déduire le sens de variation de la suite (u_n). 4) Exprimer, en fonction de n, la somme S_n = u_0+u_1+…+u_n.
Corrigés
1. Pour (u_n), suite explicite u_n = 3n-5 : u_0 = 3×0-5 = -5 ; u_1 = 3×1-5 = -2 ; u_5 = 3×5-5 = 10. Pour (v_n), suite récurrente v_0=2, v_(n+1)=2v_n-1 : v_1 = 2×2-1 = 3 ; v_2 = 2×3-1 = 5 ; v_3 = 2×5-1 = 9.
2. a) u_(n+1)-u_n = 4(n+1)-7-(4n-7) = 4n+4-7-4n+7 = 4 : la différence est constante, donc (u_n) est arithmétique de raison r = 4 (premier terme u_0 = -7). b) v_(n+1)/v_n = [5×0,5^(n+1)]/[5×0,5^n] = 0,5 : le quotient est constant, donc (v_n) est géométrique de raison q = 0,5 (premier terme v_0 = 5). c) w_(n+1)-w_n = (n+1)²+1-(n²+1) = n²+2n+1+1-n²-1 = 2n+1, qui dépend de n (non constant) : (w_n) n’est donc pas arithmétique. Le quotient w_(n+1)/w_n dépend également de n : (w_n) n’est pas non plus géométrique.
3. On calcule u_(n+1)-u_n = (n+1)²-6(n+1)+1-(n²-6n+1) = n²+2n+1-6n-6+1-n²+6n-1 = 2n-5. Le signe de 2n-5 : 2n-5 ≥ 0 ⟺ n ≥ 2,5 ⟺ n ≥ 3 (n entier). Donc pour n ≥ 3, u_(n+1)-u_n > 0 : la suite est strictement croissante à partir du rang 3. Pour n = 0, 1, 2, on a 2n-5 < 0, donc u_(n+1)-u_n < 0 : la suite est strictement décroissante de u_0 à u_3. La suite (u_n) n'est donc pas monotone sur ℕ tout entier : elle décroît de u_0 à u_3, puis croît strictement à partir du rang 3.
4. 1) u_n = u_0 + n×r = 7 – 2n. 2) u_20 = 7 – 2×20 = 7 – 40 = -33. 3) On résout 7-2n = -53 : -2n = -53-7 = -60, donc n = 30. 4) S = (nombre de termes)×(u_0+u_20)/2 = 21×(7+(-33))/2 = 21×(-26)/2 = 21×(-13) = -273.
5. 1) u_n = u_0×q^n = 2×3^n. 2) u_6 = 2×3^6 = 2×729 = 1458. 3) S = u_0×(1-q^7)/(1-q) = 2×(1-3^7)/(1-3) = 2×(1-2187)/(-2) = 2×(-2186)/(-2) = 2×1093 = 2186.
6. 1) v_(n+1) = u_(n+1)-1 = (2u_n-1)-1 = 2u_n-2 = 2(u_n-1) = 2v_n. Donc, pour tout n, v_(n+1) = 2v_n : (v_n) est géométrique de raison q = 2, de premier terme v_0 = u_0-1 = 3-1 = 2. 2) v_n = v_0×2^n = 2×2^n = 2^(n+1). D’où u_n = v_n+1 = 2^(n+1)+1. 3) u_10 = 2^11+1 = 2048+1 = 2049.
7. 1) v_(n+1) = u_(n+1)-2 = (3u_n-4)-2 = 3u_n-6 = 3(u_n-2) = 3v_n : (v_n) est donc géométrique de raison q = 3, de premier terme v_0 = u_0-2 = 3-2 = 1. On en déduit v_n = v_0×3^n = 3^n, puis u_n = v_n+2 = 3^n+2. 2) Montrons par récurrence que u_n ≥ 2 pour tout n. Initialisation : u_0 = 3 ≥ 2, vrai. Hérédité : supposons u_n ≥ 2 pour un entier n donné. Alors 3u_n ≥ 6 (en multipliant par 3 > 0), donc u_(n+1) = 3u_n-4 ≥ 6-4 = 2 : la propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : d’après le principe de récurrence, u_n ≥ 2 pour tout n ∈ ℕ. 3) u_(n+1)-u_n = (3u_n-4)-u_n = 2u_n-4 = 2(u_n-2). Comme u_n ≥ 2 pour tout n (question 2), on a u_n-2 ≥ 0, donc u_(n+1)-u_n ≥ 0 pour tout n : la suite (u_n) est croissante (ce que confirme l’expression u_n = 3^n+2, clairement croissante). 4) S_n = somme des u_k pour k=0 à n = somme des (3^k+2) = (somme des 3^k, k=0 à n) + 2(n+1) = (3^(n+1)-1)/(3-1) + 2(n+1) = (3^(n+1)-1+4n+4)/2.
