I. Définition d’un système d’équations
Un système de deux équations à deux inconnues x et y est un ensemble de deux équations que x et y doivent vérifier en même temps. On le note en accolade. Résoudre le système, c’est trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations simultanément.
Exemple de système : 2x + y = 7 et x – y = 2.
II. Méthode par substitution
La méthode par substitution consiste à isoler une inconnue dans l’une des deux équations, puis à remplacer cette expression dans l’autre équation. On obtient ainsi une équation à une seule inconnue, que l’on résout normalement.
III. Méthode par combinaison
La méthode par combinaison consiste à additionner ou soustraire membre à membre les deux équations, de façon à faire disparaître l’une des deux inconnues. On obtient alors une équation à une seule inconnue.
Exemple : soit le système 2x + y = 7 et x – y = 2. En additionnant membre à membre, le terme en y disparaît : (2x + y) + (x – y) = 7 + 2, soit 3x = 9, donc x = 3. En remplaçant dans la seconde équation : 3 – y = 2, donc y = 1.
IV. Interprétation graphique
Chaque équation du système peut être vue comme une fonction affine, dont la représentation graphique est une droite. La solution du système correspond aux coordonnées du point d’intersection des deux droites.
V. Méthode : problèmes se ramenant à un système d’équations
Pour résoudre un problème concret avec deux inconnues, on choisit deux inconnues x et y, on traduit les données de l’énoncé par deux équations formant un système, on le résout par substitution ou combinaison, puis on vérifie la cohérence de la solution avec le contexte.
Exemple : la somme de deux nombres est 20 et leur différence est 4. On pose x + y = 20 et x – y = 4. En additionnant : 2x = 24, donc x = 12, puis y = 20 – 12 = 8.
Exercices
Exercice 1. Résoudre par substitution : x + y = 8 et x – y = 2.
Exercice 2. Résoudre par combinaison : 2x + 3y = 12 et 2x – y = 4.
Exercice 3. Résoudre : y = 3x – 1 et y = -x + 7.
Exercice 4. Vérifier que le couple (2 ; 5) est solution du système x + y = 7 et 2x – y = -1.
Exercice 5. La somme de deux nombres est 30 et leur différence est 6. Déterminer ces deux nombres.
Corrigés
Corrigé 1. De la première équation, x = 8 – y. En remplaçant dans la seconde : (8 – y) – y = 2, soit 8 – 2y = 2, donc y = 3, puis x = 8 – 3 = 5.
Corrigé 2. En soustrayant membre à membre : (2x + 3y) – (2x – y) = 12 – 4, soit 4y = 8, donc y = 2. En remplaçant : 2x – 2 = 4, donc x = 3.
Corrigé 3. 3x – 1 = -x + 7, soit 4x = 8, donc x = 2, puis y = 3 × 2 – 1 = 5.
Corrigé 4. 2 + 5 = 7 (vrai) et 2 × 2 – 5 = -1 (vrai). Le couple (2 ; 5) vérifie bien les deux équations, c’est donc la solution du système.
Corrigé 5. x + y = 30 et x – y = 6. En additionnant : 2x = 36, donc x = 18, puis y = 30 – 18 = 12.
