I. Rappel du théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A, alors : BC² = AB² + AC².
II. Calculer une longueur avec des racines carrées
En 3AC, on utilise les racines carrées pour calculer précisément une longueur, y compris lorsque le résultat n’est pas un nombre entier.
Exemple : dans un triangle rectangle en A avec AB = 5 cm et AC = 5 cm, BC² = 5² + 5² = 50, donc BC = √50 = 5√2 cm.
III. La réciproque et sa contraposée
Réciproque : si dans un triangle le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle.Cette réciproque permet de démontrer qu’un triangle est rectangle uniquement à partir des longueurs de ses côtés, sans mesurer d’angle.
Exercices
- ABC est rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = √7 cm. Calculer BC (donner la valeur exacte).
- Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ? Justifier à l’aide de la réciproque de Pythagore.
- Un triangle rectangle a une hypoténuse de 8 cm et un côté de l’angle droit de 3 cm. Calculer l’autre côté (valeur exacte, puis arrondie au dixième).
- Un carré a une diagonale de 6 cm. Calculer la longueur exacte de son côté (on pourra utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle formé par la diagonale).
- Une échelle de 5 m est posée contre un mur, son pied étant à 1,4 m du mur. À quelle hauteur exacte touche-t-elle le mur (valeur exacte en fonction d’une racine carrée) ?
Corrigés
- BC² = AB² + AC² = 3² + (√7)² = 9 + 7 = 16, donc BC = √16 = 4 cm.
- Le plus grand côté est 13. 13² = 169 et 5² + 12² = 25 + 144 = 169. L’égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle (réciproque de Pythagore).
- 8² = 3² + x² donc x² = 64 − 9 = 55, donc x = √55 cm ≈ 7,4 cm.
- Le côté c du carré vérifie c² + c² = 6², donc 2c² = 36, donc c² = 18, donc c = √18 = 3√2 cm.
- h² + 1,4² = 5², donc h² = 25 − 1,96 = 23,04, donc h = √23,04 = 4,8 m.
