I. Rappel du théorème de Thalès (sens direct)
Soit un triangle ABC. On place un point M sur la droite (AB) et un point N sur la droite (AC), avec A, M, B alignés dans cet ordre et A, N, C alignés dans le même ordre.
Théorème direct : si (MN) est parallèle à (BC), alors les longueurs sont proportionnelles : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Ce théorème permet, lorsqu’on sait déjà que deux droites sont parallèles, de calculer une longueur inconnue. C’est le sens que tu as déjà étudié. Dans ce chapitre, nous allons étudier le sens inverse : comment prouver que deux droites sont parallèles.
II. La réciproque du théorème de Thalès
Énoncé : soit un triangle ABC. On place un point M sur la droite (AB) et un point N sur la droite (AC), avec A, M, B alignés dans cet ordre et A, N, C alignés dans le même ordre.
Si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Attention : la réciproque exige deux conditions à la fois : l’égalité des deux rapports, ET le bon alignement des points (même ordre sur chaque droite). Il ne suffit pas de vérifier l’égalité des rapports, il faut aussi vérifier que la configuration correspond bien au théorème.
III. Utiliser la réciproque pour démontrer un parallélisme (exemple)
On considère un triangle ABC tel que AB = 8 cm et AC = 6 cm. Le point M appartient à [AB] avec AM = 3 cm, et le point N appartient à [AC] avec AN = 2,25 cm. Montrons que (MN) est parallèle à (BC).
On calcule séparément les deux rapports : AM/AB = 3/8 = 0,375 et AN/AC = 2,25/6 = 0,375.
Les deux rapports sont égaux, et les points sont alignés dans le même ordre (A, M, B et A, N, C). D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) est parallèle à (BC).
IV. Configurations (triangle et papillon)
La réciproque du théorème de Thalès s’applique dans deux configurations différentes.
Configuration triangle : les points M et N sont situés sur les côtés [AB] et [AC] du triangle, du même côté du sommet A, comme dans les exemples précédents.
Configuration papillon : les droites (BC) et (MN) se coupent en un point O, avec B et M d’un côté et C et N de l’autre côté, formant deux triangles opposés par le sommet. La condition devient : si OM/OB = ON/OC (avec O, M, B alignés dans cet ordre et O, N, C alignés dans le même ordre), alors (MN) est parallèle à (BC).
Dans les deux cas, la logique est la même : comparer deux rapports de longueurs, puis conclure au parallélisme si les rapports sont égaux et l’alignement correct.
V. Méthode : rédiger une démonstration avec la réciproque
Pour rédiger une démonstration complète à l’aide de la réciproque du théorème de Thalès, il faut suivre une méthode rigoureuse :
1) Identifier la figure (configuration triangle ou papillon) et repérer les longueurs connues.
2) Calculer séparément les deux rapports concernés (par exemple AM/AB et AN/AC).
3) Mettre les deux rapports sous la même forme (fractions simplifiées ou nombres décimaux) pour pouvoir les comparer.
4) Vérifier que les points sont alignés dans le même ordre sur chaque droite.
5) Conclure en citant le théorème : « Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) est parallèle à (BC). »
Exercices
Exercice 1 : Dans un triangle ABC, AB = 10 cm et AC = 8 cm. Le point M appartient à [AB] avec AM = 4 cm, et le point N appartient à [AC] avec AN = 3,2 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifie ta réponse.
Exercice 2 : Dans un triangle ABC, AB = 15 cm et AC = 12 cm. Le point M appartient à [AB] avec AM = 5 cm, et le point N appartient à [AC] avec AN = 4,5 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifie ta réponse.
Exercice 3 : Les droites (BC) et (MN) se coupent en un point O, formant une configuration papillon, avec OB = 6 cm, OC = 9 cm, OM = 4 cm et ON = 6 cm. Démontre que (MN) est parallèle à (BC).
Exercice 4 : Dans un triangle ABC, AB = 12 cm et AC = 9 cm. Le point M appartient à [AB] tel que BM = 4 cm, et le point N appartient à [AC] tel que CN = 3 cm. Démontre que (MN) est parallèle à (BC).
Exercice 5 : On donne AB = 7 cm, AM = 2,8 cm, AC = 10 cm et AN = 4 cm, avec M sur [AB] et N sur [AC]. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Rédige une démonstration complète.
Corrigés
Corrigé 1 : AM/AB = 4/10 = 0,4 et AN/AC = 3,2/8 = 0,4. Les deux rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) est parallèle à (BC).
Corrigé 2 : AM/AB = 5/15 = 1/3 ≈ 0,333 et AN/AC = 4,5/12 = 0,375. Les deux rapports ne sont pas égaux, donc (MN) n’est pas parallèle à (BC).
Corrigé 3 : OM/OB = 4/6 = 2/3 et ON/OC = 6/9 = 2/3. Les deux rapports sont égaux et l’alignement de la configuration papillon est correct. D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) est parallèle à (BC).
Corrigé 4 : AM = AB − BM = 12 − 4 = 8 cm et AN = AC − CN = 9 − 3 = 6 cm. AM/AB = 8/12 = 2/3 et AN/AC = 6/9 = 2/3. Les deux rapports sont égaux, donc (MN) est parallèle à (BC).
Corrigé 5 : AM/AB = 2,8/7 = 0,4 et AN/AC = 4/10 = 0,4. Les deux rapports sont égaux, et les points A, M, B ainsi que A, N, C sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) est parallèle à (BC).
