En classe de tronc commun et dans l’étude déjà menée en filière Sciences Expérimentales, l’énergie a été abordée sous ses formes mécaniques (énergie cinétique, énergie potentielle) et électrique. La filière Sciences Mathématiques introduit une nouvelle grandeur physique fondamentale : l’énergie interne d’un système, qui rend compte de l’agitation microscopique désordonnée des particules qui le constituent. Ce chapitre pose les bases de la thermodynamique en définissant l’énergie interne U, en établissant le premier principe de la thermodynamique (ΔU = W + Q) et en étudiant les deux façons dont un système peut échanger de l’énergie avec le milieu extérieur : le travail des forces de pression et le transfert thermique.
Système thermodynamique et énergie interne
Un système thermodynamique est une portion de matière (solide, liquide ou gaz) que l’on choisit d’étudier, délimitée par une frontière qui la sépare du milieu extérieur. Un système est dit fermé lorsqu’il n’échange pas de matière avec l’extérieur (il peut cependant échanger de l’énergie), ouvert lorsqu’il échange à la fois matière et énergie, et isolé lorsqu’il n’échange ni matière ni énergie. L’état macroscopique d’un système est décrit par des grandeurs mesurables appelées variables d’état : la pression P (en pascal, Pa), le volume V (en m³), la température T (en kelvin, K) et la quantité de matière n (en mol).
À l’échelle microscopique, un système est constitué d’un très grand nombre de particules (atomes, molécules, ions) en perpétuelle agitation désordonnée, appelée agitation thermique. Chaque particule possède une énergie cinétique microscopique liée à son mouvement (translation, rotation, vibration), et les particules interagissent entre elles par des forces d’interaction (attraction, répulsion) auxquelles est associée une énergie potentielle d’interaction microscopique. La somme de toutes ces énergies cinétiques et potentielles microscopiques constitue l’énergie interne du système, notée U et exprimée en joule (J).
L’énergie interne U est une fonction d’état : sa valeur ne dépend que de l’état du système (sa température, sa pression, son volume, sa nature) et non de la manière dont cet état a été atteint. En pratique, on ne sait pas mesurer la valeur absolue de U, mais uniquement sa variation ΔU entre deux états, ce qui suffit pour toutes les applications physiques.
Variation de l’énergie interne
Lorsqu’un système évolue d’un état initial (indice i) vers un état final (indice f), son énergie interne varie d’une quantité :
ΔU = Uf − Ui
Cette variation peut être positive (l’énergie interne du système augmente), négative (elle diminue) ou nulle (elle reste constante). L’énergie interne d’un système dépend essentiellement de sa température : une élévation de température traduit une augmentation de l’agitation thermique des particules, donc une augmentation de leur énergie cinétique microscopique, donc une augmentation de U. Elle dépend également de l’état physique du système (solide, liquide, gaz) : lors d’un changement d’état à température constante (fusion, vaporisation…), l’énergie interne varie car les distances entre particules, et donc leur énergie potentielle d’interaction, changent, même si l’agitation thermique (donc la température) reste la même.
Pour un gaz parfait, on admet que l’énergie interne ne dépend que de la température T et non du volume ni de la pression : c’est la première loi de Joule. Pour les solides et les liquides, dans le cadre du programme, on considère également que U ne dépend que de la température.
Premier principe de la thermodynamique
Un système fermé peut échanger de l’énergie avec le milieu extérieur selon deux modes distincts : le travail W, associé à une action mécanique macroscopique (déplacement d’un piston, compression…), et le transfert thermique (ou chaleur) Q, associé à un déséquilibre de température avec l’extérieur. Le premier principe de la thermodynamique, qui traduit la conservation de l’énergie, s’énonce ainsi :
Pour un système fermé passant d’un état initial à un état final, la variation de son énergie interne est égale à la somme du travail W et du transfert thermique Q échangés avec le milieu extérieur au cours de cette transformation :
ΔU = W + Q
Cette relation utilise la convention suivante : une énergie reçue par le système (de l’extérieur vers le système) est comptée positivement ; une énergie cédée par le système (du système vers l’extérieur) est comptée négativement. Ainsi, si un système reçoit du travail et de la chaleur, W > 0 et Q > 0, donc ΔU > 0 : l’énergie interne augmente. Si le système cède de l’énergie sous les deux formes, ΔU < 0.
Contrairement à W et Q, qui dépendent du chemin suivi lors de la transformation, la somme W + Q ne dépend que de l’état initial et de l’état final, puisque ΔU est une fonction d’état. C’est là toute la puissance du premier principe : il permet de calculer ΔU à partir de n’importe quel couple (W, Q) compatible avec la transformation étudiée.
Cas particulier : pour un système isolé (aucun échange avec l’extérieur), W = 0 et Q = 0, donc ΔU = 0 : l’énergie interne d’un système isolé se conserve.
Travail des forces de pression
Lorsqu’un système (typiquement un gaz enfermé dans une enceinte munie d’un piston mobile) voit son volume varier sous l’effet d’une pression extérieure Pext supposée constante au cours de la transformation, le travail des forces de pression échangé s’écrit :
W = − Pext × ΔV, avec ΔV = Vf − Vi
où Pext est exprimée en pascal (Pa), ΔV en m³ et W en joule (J). Le signe négatif est essentiel et traduit la convention énoncée plus haut : lors d’une compression (le volume diminue, ΔV < 0), le milieu extérieur fournit un travail au système : W = − Pext × ΔV > 0, le système reçoit du travail. Lors d’une détente (le volume augmente, ΔV > 0), le système fournit un travail au milieu extérieur : W < 0, le système cède de l’énergie sous forme de travail.
Si le volume du système reste constant au cours de la transformation (transformation dite isochore), alors ΔV = 0 et le travail des forces de pression est nul : W = 0. Dans ce cas, le premier principe se réduit à ΔU = Q : toute variation d’énergie interne provient alors uniquement du transfert thermique.
On vérifie l’homogénéité de la relation : 1 Pa × 1 m³ = 1 J.
Capacité thermique et lien avec l’énergie interne
Pour une transformation à volume constant (isochore), W = 0 donc ΔU = Q. On définit alors la capacité thermique C du système (en J·K−1) par la relation :
ΔU = C × ΔT, soit C = ΔU ÷ ΔT
où ΔT = Tf − Ti est la variation de température, exprimée en kelvin (K) ou de façon équivalente en degré Celsius (°C), un écart de température ayant la même valeur numérique dans les deux échelles.
Pour une masse m d’un corps homogène, on introduit la capacité thermique massique c (en J·kg−1·K−1), telle que C = m × c, ce qui donne pour la variation d’énergie interne d’un solide ou d’un liquide (dont le volume varie très peu, de sorte que W ≈ 0) :
ΔU ≈ m × c × ΔT
Cette relation, reprise et exploitée dans le chapitre suivant sur les transferts thermiques, montre que l’énergie interne d’un corps est directement liée à sa température : plus c est grande, plus il faut fournir d’énergie pour élever la température du corps d’un même écart ΔT.
Exercice d’application
1. Exercice 1 : Un gaz enfermé dans un cylindre muni d’un piston mobile subit une compression qui fait diminuer son volume de Vi = 2,5 L à Vf = 1,8 L sous une pression extérieure constante Pext = 1,2×105 Pa. Calculer le travail W des forces de pression reçu par le gaz. Préciser son signe et l’interpréter.
2. Exercice 2 : Un système fermé reçoit au cours d’une transformation un travail W = +150 J et cède un transfert thermique Q = −90 J vers le milieu extérieur. Calculer la variation d’énergie interne ΔU du système. Le système a-t-il globalement gagné ou perdu de l’énergie ?
3. Exercice 3 : Une masse m = 250 g d’eau liquide (capacité thermique massique c = 4185 J·kg−1·K−1) est chauffée, à volume constant, de 18°C à 45°C. Calculer la quantité de chaleur Q reçue par cette eau (on rappelle qu’à volume constant, W = 0 donc ΔU = Q).
4. Exercice 4 : Un gaz enfermé dans une enceinte rigide (transformation isochore) reçoit un transfert thermique Q = 320 J. Calculer le travail W échangé, puis la variation d’énergie interne ΔU du gaz. Justifier chaque valeur.
5. Exercice 5 : Un système de capacité thermique C = 850 J·K−1 voit sa température passer de 20°C à 68°C à volume constant. Calculer la variation d’énergie interne ΔU de ce système.
6. Exercice 6 : Un gaz est comprimé de Vi = 4,0×10−3 m³ à Vf = 2,5×10−3 m³ sous une pression extérieure constante Pext = 2,0×105 Pa. Au cours de cette compression, le gaz cède à l’extérieur un transfert thermique de valeur Q = −200 J. Calculer le travail W des forces de pression, puis la variation d’énergie interne ΔU du gaz.
7. Exercice 7 : Expliquer, à l’aide du premier principe de la thermodynamique, pourquoi l’énergie interne d’un système isolé reste constante. Un système isolé, contenant initialement une énergie interne Ui = 5,0×103 J, est le siège d’une transformation interne (par exemple une réaction chimique) sans aucun échange avec l’extérieur. Déterminer son énergie interne finale Uf, en justifiant la démarche.
Corrigés
Réponse 1 :
Corrigé 1 : La variation de volume vaut ΔV = Vf − Vi = 1,8 − 2,5 = −0,7 L = −0,7×10−3 m³ (le volume diminue puisqu’il s’agit d’une compression). Le travail des forces de pression vaut : W = − Pext × ΔV = − 1,2×105 × (−0,7×10−3) = +84 J. Le travail est positif : le gaz reçoit effectivement du travail du milieu extérieur, ce qui est cohérent puisqu’il s’agit d’une compression (le piston pousse le gaz, il lui fournit de l’énergie).
Réponse 2 :
Corrigé 2 : D’après le premier principe, ΔU = W + Q = 150 + (−90) = +60 J. La variation d’énergie interne est positive : le système a globalement gagné 60 J d’énergie, bien qu’il ait cédé de la chaleur, car le travail reçu (150 J) est supérieur en valeur absolue à la chaleur cédée (90 J).
Réponse 3 :
Corrigé 3 : À volume constant, W = 0, donc ΔU = Q = m × c × ΔT. On calcule ΔT = 45 − 18 = 27°C = 27 K. Alors : Q = 0,250 × 4185 × 27 = 0,250 × 4185 = 1046,25 ; 1046,25 × 27 = 28 248,75 J. Soit Q ≈ 2,82×104 J (environ 28,2 kJ). L’eau reçoit donc une quantité de chaleur d’environ 28,2 kJ.
Réponse 4 :
Corrigé 4 : La transformation est isochore (volume constant, enceinte rigide), donc le travail des forces de pression est nul : W = 0. D’après le premier principe : ΔU = W + Q = 0 + 320 = +320 J. Toute l’énergie reçue par le gaz sous forme de chaleur se retrouve donc intégralement sous forme de variation d’énergie interne, puisqu’aucun travail n’est échangé.
Réponse 5 :
Corrigé 5 : ΔT = Tf − Ti = 68 − 20 = 48 K. La variation d’énergie interne vaut : ΔU = C × ΔT = 850 × 48 = 40 800 J. Soit ΔU = 4,08×104 J (40,8 kJ).
Réponse 6 :
Corrigé 6 : La variation de volume vaut ΔV = Vf − Vi = 2,5×10−3 − 4,0×10−3 = −1,5×10−3 m³. Le travail des forces de pression vaut : W = − Pext × ΔV = − 2,0×105 × (−1,5×10−3) = +300 J (le gaz reçoit du travail car il est comprimé). D’après le premier principe : ΔU = W + Q = 300 + (−200) = +100 J. L’énergie interne du gaz augmente donc de 100 J.
Réponse 7 :
Corrigé 7 : Pour un système isolé, par définition, il n’y a aucun échange d’énergie avec le milieu extérieur : ni travail (W = 0), ni transfert thermique (Q = 0). D’après le premier principe, ΔU = W + Q = 0 + 0 = 0 : l’énergie interne totale du système reste donc constante au cours du temps, quelles que soient les transformations internes qui s’y déroulent (une réaction chimique interne peut convertir de l’énergie chimique en énergie thermique à l’intérieur du système, mais la somme totale ne change pas car rien ne sort ni n’entre). Ainsi, Uf = Ui = 5,0×103 J : l’énergie interne finale est égale à l’énergie interne initiale, soit 5,0×103 J.
