I. La droite des milieux
Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est appelée la droite des milieux.
Théorème de la droite des milieux : si une droite joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.II. Réciproque : droite passant par un milieu et parallèle à un côté
Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
III. Théorème des milieux (variante « droite parallèle à un côté »)
Si une droite est parallèle à un côté d’un triangle et passe par le milieu d’un autre côté, elle partage le triangle en une figure semblable de rapport 1/2.
Exercices
- Dans un triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC]. Que peut-on dire de la droite (IJ) par rapport à (BC) ?
- Avec les mêmes notations, sachant que BC = 8 cm, calculer IJ.
- Dans un triangle MNP, K est le milieu de [MN]. La droite passant par K et parallèle à (NP) coupe [MP] en L. Que peut-on dire du point L ?
- Un triangle ABC a pour côté BC = 12 cm. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC]. Calculer IJ, puis en déduire le périmètre du triangle AIJ sachant que AB = 10 cm et AC = 9 cm.
- Expliquer pourquoi le théorème de la droite des milieux permet de tracer facilement un segment parallèle à un côté d’un triangle sans utiliser l’équerre.
Corrigés
- (IJ) est la droite des milieux du triangle ABC (I milieu de [AB], J milieu de [AC]) : elle est donc parallèle à (BC).
- D’après le théorème de la droite des milieux, IJ = BC ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 cm.
- D’après la réciproque du théorème des milieux, L est le milieu de [MP].
- IJ = BC ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 cm. AI = AB ÷ 2 = 5 cm et AJ = AC ÷ 2 = 4,5 cm. Périmètre de AIJ = 6 + 5 + 4,5 = 15,5 cm.
- Il suffit de placer les milieux de deux côtés (au compas ou à la règle graduée) et de relier ces deux points : la droite obtenue est automatiquement parallèle au troisième côté, sans besoin de vérifier le parallélisme à l’équerre.
