Trigonométrie

Ce chapitre approfondit les notions trigonométriques : cercle trigonométrique, radian, valeurs remarquables, formules d’addition et de duplication, indispensables à l’étude ultérieure des fonctions trigonométriques.

Cercle trigonométrique et radian

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté positivement (sens inverse des aiguilles d’une montre). Le radian est l’unité de mesure d’angle correspondant à la longueur de l’arc intercepté sur ce cercle. On a la relation : angle en radians = angle en degrés × π/180.

Valeurs remarquables

Relation fondamentale : pour tout x réel, cos²x+sin²x=1.

Formules d’addition

Pour tous réels a et b : cos(a+b)=cos a·cos b − sin a·sin b ; cos(a−b)=cos a·cos b + sin a·sin b ; sin(a+b)=sin a·cos b + cos a·sin b ; sin(a−b)=sin a·cos b − cos a·sin b.

Formules de duplication

En posant a=b dans les formules d’addition : cos(2a)=cos²a−sin²a = 2cos²a−1 = 1−2sin²a ; sin(2a)=2sin a·cos a.

Exercices

Exercice 1 — Convertir 45° en radians

Exercice 2 — Convertir 3π/4 radians en degrés

Exercice 3 — Calculer cos(π/3)+sin(π/6)

Exercice 4 — En utilisant les formules d’addition, calculer cos(π/12) sachant que π/12=π/3−π/4

Exercice 5 — Calculer sin(2×π/6) en utilisant la formule de duplication

Exercice 6 — Sachant que sin x=3/5 et que x∈]0;π/2[, calculer cos x en utilisant cos²x+sin²x=1

Exercice 7 — Démontrer que cos(2a)=1−2sin²a à partir de cos(2a)=cos²a−sin²a et de la relation fondamentale

Corrigés

Corrigé 1 — 45° × π/180 = π/4 radians

Corrigé 2 — 3π/4 × 180/π = 135°

Corrigé 3 — cos(π/3)+sin(π/6) = 1/2+1/2 = 1

Corrigé 4 — cos(π/12) = cos(π/3−π/4) = cos(π/3)cos(π/4)+sin(π/3)sin(π/4) = (1/2)(√2/2)+(√3/2)(√2/2) = (√2+√6)/4

Corrigé 5 — sin(2×π/6) = sin(π/3) = √3/2

Corrigé 6 — cos²x+sin²x=1 donc cos²x=1−(3/5)²=1−9/25=16/25, et x∈]0;π/2[ donc cos x>0, d’où cos x=4/5

Corrigé 7 — cos(2a)=cos²a−sin²a. Or cos²a=1−sin²a (relation fondamentale), donc cos(2a)=(1−sin²a)−sin²a=1−2sin²a