La trigonométrie est un outil fondamental pour l’étude des phénomènes périodiques et pour la géométrie du plan. Dans ce chapitre, on reprend les notions de cercle trigonométrique et de radian vues au collège, puis on approfondit l’étude du cosinus, du sinus et de la tangente d’un nombre réel : angles associés, formules d’addition et de duplication, et résolution d’équations trigonométriques. Ces outils seront réutilisés tout au long de l’année, en particulier dans l’étude des fonctions et dans la géométrie du plan complexe.
Le cercle trigonométrique, le radian et l’enroulement de la droite réelle
Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O et de rayon 1, muni d’un sens direct (sens contraire des aiguilles d’une montre) et d’une origine I (point de coordonnées (1;0)). On appelle radian l’unité de mesure d’angle telle qu’un angle de 1 radian intercepte, sur le cercle trigonométrique, un arc de longueur 1.
Le périmètre du cercle trigonométrique valant 2π, on obtient la correspondance : un tour complet = 360° = 2π rad, un demi-tour = 180° = π rad. Pour convertir un angle de α degrés en radians, on utilise la proportionnalité : mesure en radians = (α × π) / 180. Par exemple, 60° correspond à (60 × π)/180 = π/3 rad, et 270° correspond à (270 × π)/180 = 3π/2 rad.
Enroulement de la droite réelle : on enroule la droite réelle (munie de la même unité que le rayon) sur le cercle trigonométrique, en faisant coïncider le point d’abscisse 0 avec le point I, l’enroulement se faisant dans le sens direct pour les réels positifs et dans le sens indirect pour les réels négatifs. Ainsi, à tout réel x correspond un unique point M du cercle, appelé point image de x. Deux réels x et x’ ont le même point image si et seulement si x’ = x + 2kπ, avec k ∈ ℤ ; on dit que x et x’ sont congrus modulo 2π, noté x ≡ x’ [2π].
Exemple traité : les réels 0, 2π, 4π, -2π ont tous le même point image I, car ils sont tous congrus à 0 modulo 2π. Le réel 9π/2 a le même point image que 9π/2 – 4π = π/2 (on a retranché 2×2π = 4π), donc le point image de 9π/2 est le point J de coordonnées (0;1), sommet du cercle.
Cosinus, sinus et tangente d’un nombre réel
Soit x un nombre réel et M son point image sur le cercle trigonométrique. On définit le cosinus de x, noté cos x, comme l’abscisse de M, et le sinus de x, noté sin x, comme l’ordonnée de M. On a donc M(cos x ; sin x), et pour tout réel x : -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1.
Propriété fondamentale : pour tout réel x, cos²x + sin²x = 1 (conséquence immédiate du théorème de Pythagore, puisque OM = 1). On définit également la tangente de x, pour x ≠ π/2 + kπ (k ∈ ℤ), par tan x = sin x / cos x.
Valeurs remarquables à connaître (à retrouver à l’aide du cercle trigonométrique) : cos 0 = 1, sin 0 = 0 ; cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2 ; cos(π/4) = √2/2, sin(π/4) = √2/2 ; cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2 ; cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1. On en déduit tan(π/6) = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3, tan(π/4) = 1, tan(π/3) = √3.
Exemple traité : calculons cos²(π/3) + sin²(π/3) : on trouve (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1, ce qui confirme la relation fondamentale. Autre exemple : sachant que cos x = 3/5 et que x ∈ ]0 ; π/2[ (donc sin x > 0), déterminons sin x. De cos²x + sin²x = 1, on tire sin²x = 1 – (3/5)² = 1 – 9/25 = 16/25, donc sin x = √(16/25) = 4/5 (on garde la racine positive car sin x > 0 sur cet intervalle).
Angles associés (formules de réduction)
Les angles associés permettent d’exprimer le cosinus, le sinus et la tangente d’un réel en fonction de ceux d’un angle de référence, en utilisant les symétries du cercle trigonométrique (symétrie par rapport à l’axe des abscisses, à l’axe des ordonnées, à l’origine, et à la première bissectrice).
Formules à connaître, pour tout réel x : cos(-x) = cos x et sin(-x) = -sin x (symétrie par rapport à (Ox)) ; cos(π – x) = -cos x et sin(π – x) = sin x (symétrie par rapport à (Oy)) ; cos(π + x) = -cos x et sin(π + x) = -sin x (symétrie par rapport à O) ; cos(π/2 – x) = sin x et sin(π/2 – x) = cos x (symétrie par rapport à la première bissectrice) ; cos(π/2 + x) = -sin x et sin(π/2 + x) = cos x.
Exemple traité : calculons cos(5π/6). On écrit 5π/6 = π – π/6, donc cos(5π/6) = cos(π – π/6) = -cos(π/6) = -√3/2. De même, sin(5π/6) = sin(π – π/6) = sin(π/6) = 1/2.
Autre exemple : calculons sin(-π/3) et cos(7π/3). On a sin(-π/3) = -sin(π/3) = -√3/2. Pour cos(7π/3), on remarque que 7π/3 = 2π + π/3, donc cos(7π/3) = cos(π/3) = 1/2 (les réels 7π/3 et π/3 étant congrus modulo 2π, ils ont le même point image).
Formules d’addition et de duplication
Pour tous réels a et b, on admet les formules d’addition : cos(a + b) = cos a·cos b – sin a·sin b ; cos(a – b) = cos a·cos b + sin a·sin b ; sin(a + b) = sin a·cos b + cos a·sin b ; sin(a – b) = sin a·cos b – cos a·sin b.
En posant b = a dans les formules précédentes, on obtient les formules de duplication : cos(2a) = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a ; sin(2a) = 2 sin a·cos a. Pour la tangente, on obtient tan(a+b) = (tan a + tan b)/(1 – tan a·tan b), lorsque les quantités sont définies.
Exemple traité : calculons cos(75°) en écrivant 75° = 45° + 30°. On a cos(75°) = cos(45°)cos(30°) – sin(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) – (√2/2)(1/2) = √6/4 – √2/4 = (√6 – √2)/4.
Autre exemple : sachant que cos x = 1/3 avec x ∈ ]0 ; π/2[, calculons cos(2x). On utilise cos(2x) = 2cos²x – 1 = 2×(1/3)² – 1 = 2/9 – 1 = -7/9.
Résolution d’équations trigonométriques
Propriétés fondamentales, pour tous réels x et a : cos x = cos a ⟺ x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ, avec k ∈ ℤ ; sin x = sin a ⟺ x = a + 2kπ ou x = π – a + 2kπ, avec k ∈ ℤ ; tan x = tan a (a ≠ π/2 + kπ) ⟺ x = a + kπ, avec k ∈ ℤ.
Exemple traité : résolvons cos x = 1/2 dans ℝ. On remarque que 1/2 = cos(π/3), donc l’équation équivaut à x = π/3 + 2kπ ou x = -π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ. L’ensemble des solutions est S = {π/3 + 2kπ ; k ∈ ℤ} ∪ {-π/3 + 2kπ ; k ∈ ℤ}.
Autre exemple : résolvons sin x = √2/2 dans l’intervalle [0 ; 2π[. On a √2/2 = sin(π/4), donc x = π/4 + 2kπ ou x = π – π/4 + 2kπ = 3π/4 + 2kπ. Dans [0 ; 2π[, on obtient les deux solutions x = π/4 et x = 3π/4.
Exercices
1. Convertir en radians les mesures d’angles suivantes : 45° ; 120° ; 210° ; 300°. Convertir en degrés les mesures suivantes : π/5 rad ; 5π/6 rad.
2. Calculer, sans calculatrice, les valeurs exactes de cos(11π/6), sin(-3π/4) et tan(2π/3).
3. On donne sin x = -3/5, avec x ∈ ]-π/2 ; 0[. Calculer cos x, puis tan x.
4. Simplifier l’expression A = cos(π – x) + sin(π/2 + x) – cos(-x), pour tout réel x.
5. En écrivant 15° = 45° – 30°, calculer les valeurs exactes de cos(15°) et sin(15°). Vérifier que cos²(15°) + sin²(15°) = 1.
6. Résoudre dans [0 ; 2π[ l’équation cos(2x – π/3) = 1/2.
7. 1) Démontrer que pour tout réel x, cos(3x) = 4cos³x – 3cos x (on pourra écrire 3x = 2x + x et utiliser les formules de duplication et d’addition). 2) En déduire, en résolvant l’équation cos(3x) = cos x dans [0 ; 2π[, l’ensemble des solutions.
Corrigés
1. On utilise la formule : mesure en radians = (mesure en degrés × π)/180, et sa réciproque : mesure en degrés = (mesure en radians × 180)/π. Pour 45° : (45×π)/180 = π/4. Pour 120° : (120×π)/180 = 2π/3. Pour 210° : (210×π)/180 = 7π/6. Pour 300° : (300×π)/180 = 5π/3. Pour π/5 rad : (π/5×180)/π = 36°. Pour 5π/6 rad : (5π/6×180)/π = 150°.
2. On utilise les angles associés. Pour cos(11π/6) : 11π/6 = 2π – π/6, donc 11π/6 est congru à -π/6 modulo 2π, d’où cos(11π/6) = cos(-π/6) = cos(π/6) = √3/2. Pour sin(-3π/4) : sin(-3π/4) = -sin(3π/4) (car sin est impaire) ; or 3π/4 = π – π/4, donc sin(3π/4) = sin(π-π/4) = sin(π/4) = √2/2 ; ainsi sin(-3π/4) = -√2/2. Pour tan(2π/3) : 2π/3 = π – π/3, donc cos(2π/3) = -cos(π/3) = -1/2 et sin(2π/3) = sin(π/3) = √3/2 ; d’où tan(2π/3) = sin(2π/3)/cos(2π/3) = (√3/2)/(-1/2) = -√3.
3. Comme x ∈ ]-π/2 ; 0[, on a cos x > 0. D’après la relation fondamentale cos²x + sin²x = 1, on tire cos²x = 1 – sin²x = 1 – (-3/5)² = 1 – 9/25 = 16/25, donc cos x = √(16/25) = 4/5 (racine positive, car cos x > 0 sur cet intervalle). On en déduit tan x = sin x / cos x = (-3/5)/(4/5) = -3/4.
4. On utilise les formules des angles associés : cos(π – x) = -cos x, sin(π/2 + x) = cos x, et cos(-x) = cos x. On obtient donc A = (-cos x) + (cos x) – (cos x) = -cos x. Ainsi, pour tout réel x, A = -cos x.
5. On calcule cos(15°) = cos(45° – 30°) = cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4. On calcule sin(15°) = sin(45° – 30°) = sin(45°)cos(30°) – cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) – (√2/2)(1/2) = √6/4 – √2/4 = (√6 – √2)/4. Vérification : cos²(15°) + sin²(15°) = [(√6+√2)² + (√6-√2)²]/16. Or (√6+√2)² = 6 + 2√12 + 2 = 8 + 2√12 et (√6-√2)² = 8 – 2√12. La somme vaut 16, donc cos²(15°) + sin²(15°) = 16/16 = 1, ce qui confirme la relation fondamentale.
6. On pose u = 2x – π/3. L’équation devient cos u = 1/2 = cos(π/3), donc u = π/3 + 2kπ ou u = -π/3 + 2kπ, avec k ∈ ℤ. Cas 1 : 2x – π/3 = π/3 + 2kπ, donc 2x = 2π/3 + 2kπ, soit x = π/3 + kπ. Cas 2 : 2x – π/3 = -π/3 + 2kπ, donc 2x = 2kπ, soit x = kπ. On cherche les solutions dans [0 ; 2π[. Pour le cas 1 (x = π/3 + kπ) : k=0 donne x=π/3, k=1 donne x=4π/3 (les autres valeurs de k sortent de l’intervalle). Pour le cas 2 (x = kπ) : k=0 donne x=0, k=1 donne x=π. L’ensemble des solutions est donc S = {0 ; π/3 ; π ; 4π/3}.
7. 1) On écrit 3x = 2x + x, donc cos(3x) = cos(2x+x) = cos(2x)cos(x) – sin(2x)sin(x). En remplaçant cos(2x) = 2cos²x – 1 et sin(2x) = 2 sin x cos x, on obtient cos(3x) = (2cos²x – 1)cos x – (2 sin x cos x)sin x = 2cos³x – cos x – 2 sin²x cos x. En remplaçant sin²x par 1 – cos²x : -2 sin²x cos x = -2(1-cos²x)cos x = -2cos x + 2cos³x. En sommant : cos(3x) = 2cos³x – cos x – 2cos x + 2cos³x = 4cos³x – 3cos x. La formule est démontrée. 2) L’équation cos(3x) = cos(x) équivaut à 3x = x + 2kπ ou 3x = -x + 2kπ, k ∈ ℤ. Premier cas : 3x – x = 2kπ, soit 2x = 2kπ, soit x = kπ. Deuxième cas : 3x + x = 2kπ, soit 4x = 2kπ, soit x = kπ/2. Les solutions du premier cas (x=kπ) sont incluses dans celles du second (x=kπ/2 pour k pair) : l’ensemble des solutions est donc x = kπ/2, k ∈ ℤ. Dans [0 ; 2π[, cela donne, pour k=0,1,2,3 : x = 0 ; π/2 ; π ; 3π/2 (k=4 donnerait 2π, exclu). L’ensemble des solutions est S = {0 ; π/2 ; π ; 3π/2}.
