I. Rappel : le triangle rectangle et ses côtés
Dans un triangle rectangle, le côté le plus long, situé en face de l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse. Les deux autres côtés changent de nom selon l’angle aigu que l’on considère.
Pour un angle aigu donné, le côté qui touche cet angle (autre que l’hypoténuse) s’appelle le côté adjacent, et le côté qui lui fait face s’appelle le côté opposé.
II. Le cosinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, on définit : cos(angle) = côté adjacent / hypoténuse.
Ce rapport est toujours compris entre 0 et 1, car l’hypoténuse est toujours le plus grand des trois côtés d’un triangle rectangle.
III. Le sinus d’un angle aigu
De la même façon, on définit : sin(angle) = côté opposé / hypoténuse.
Comme le cosinus, le sinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
IV. La tangente d’un angle aigu
On définit aussi : tan(angle) = côté opposé / côté adjacent.
Contrairement au cosinus et au sinus, la tangente peut prendre n’importe quelle valeur positive. On peut aussi retrouver la relation tan(angle) = sin(angle) / cos(angle).
V. Méthode : calculer une longueur ou un angle avec la trigonométrie
1) Identifier l’angle aigu utilisé dans le calcul et nommer les côtés (adjacent, opposé, hypoténuse) par rapport à cet angle.
2) Repérer les deux longueurs connues, ou la longueur et l’angle connus, parmi les trois côtés du triangle.
3) Choisir la formule adaptée (cosinus, sinus ou tangente) selon les côtés concernés par les données et l’inconnue.
4) Écrire l’égalité correspondante, puis isoler l’inconnue.
5) Calculer à la calculatrice (en mode degrés) et arrondir le résultat si nécessaire.
Exercices
Exercice 1 : Dans un triangle ABC rectangle en B, l’angle en A mesure 40° et AB = 6 cm. Calcule la longueur BC (arrondie au centième).
Exercice 2 : Dans un triangle ABC rectangle en B, l’angle en A mesure 50° et AC = 10 cm. Calcule la longueur AB (arrondie au centième).
Exercice 3 : Dans un triangle ABC rectangle en B, AB = 5 cm et BC = 12 cm. Calcule la mesure de l’angle en A (arrondie au degré près).
Exercice 4 : Dans un triangle ABC rectangle en B, l’angle en A mesure 28° et BC = 4 cm. Calcule la longueur de l’hypoténuse AC (arrondie au centième).
Exercice 5 : Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical. Elle forme un angle de 65° avec le sol horizontal. À quelle hauteur sur le mur l’échelle touche-t-elle (arrondie au dixième de mètre) ?
Corrigés
Corrigé 1 : tan(40°) = BC/AB, donc BC = AB × tan(40°) ≈ 6 × 0,839 ≈ 5,03 cm.
Corrigé 2 : cos(50°) = AB/AC, donc AB = AC × cos(50°) ≈ 10 × 0,643 ≈ 6,43 cm.
Corrigé 3 : tan(angle en A) = BC/AB = 12/5 = 2,4. L’angle en A mesure environ tan⁻¹(2,4) ≈ 67°.
Corrigé 4 : sin(28°) = BC/AC, donc AC = BC / sin(28°) ≈ 4 / 0,469 ≈ 8,53 cm.
Corrigé 5 : On modélise la situation par un triangle rectangle où l’échelle est l’hypoténuse (5 m) et l’angle au sol mesure 65°. La hauteur cherchée est le côté opposé à cet angle : sin(65°) = hauteur/5, donc hauteur = 5 × sin(65°) ≈ 5 × 0,906 ≈ 4,5 m.
