L’espace est muni de la même structure vectorielle que le plan, enrichie d’une troisième dimension. Les vecteurs de l’espace permettent de caractériser la direction et la position des points, ainsi que les relations d’alignement, de parallélisme et de coplanarité.
Vecteurs de l’espace : définitions et opérations
À deux points A et B de l’espace, on associe le vecteur AB, caractérisé par une direction, un sens et une norme. Deux vecteurs de l’espace peuvent être additionnés (relation de Chasles : AB + BC = AC) et multipliés par un réel, exactement comme dans le plan.
Colinéarité. Deux vecteurs u et v (v non nul) sont colinéaires s’il existe un réel k tel que u = k v. Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Vecteurs coplanaires
Trois vecteurs u, v, w de l’espace sont dits coplanaires s’il existe des réels a et b tels que w = a u + b v (lorsque u et v ne sont pas colinéaires), c’est-à-dire si w peut s’exprimer comme combinaison linéaire de u et v. Quatre points A, B, C, D sont coplanaires si les vecteurs AB, AC, AD sont coplanaires.
Propriété. Si u, v, w ne sont pas coplanaires, alors (u, v, w) forme une base de l’espace : tout vecteur de l’espace s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire a u + b v + c w.
Repérage dans l’espace
Un repère de l’espace est défini par un point O (origine) et trois vecteurs non coplanaires i, j, k. Tout point M de l’espace est repéré par un unique triplet (x, y, z) tel que OM = x i + y j + z k. Dans un repère orthonormé, pour A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB), les coordonnées du vecteur AB sont (xB−xA, yB−yA, zB−zA), et AB = √[(xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²].
Milieu. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées xI = (xA+xB)/2, yI = (yA+yB)/2, zI = (zA+zB)/2.
Produit scalaire dans l’espace
Le produit scalaire de deux vecteurs u(x,y,z) et v(x′,y′,z′) dans un repère orthonormé de l’espace est défini par u · v = xx′ + yy′ + zz′. On a aussi u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u,v). Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.
Exemple : Pour u(1,2,−1) et v(3,−1,1), u · v = 3 − 2 − 1 = 0 : u et v sont orthogonaux.
Exercices
Exercice 1 — Soient A(1,0,2), B(3,1,−1), C(−1,2,0). Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC.
Exercice 2 — Avec les mêmes points, les points A, B, C sont-ils alignés ?
Exercice 3 — Calculer la norme du vecteur u(2,−1,2).
Exercice 4 — Soient A(0,1,1) et B(4,3,5). Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB].
Exercice 5 — Calculer le produit scalaire de u(1,−2,3) et v(2,1,0), et en déduire si u et v sont orthogonaux.
Exercice 6 — Montrer que les vecteurs u(1,1,0), v(0,1,1) et w(2,3,1) sont coplanaires.
Exercice 7 — Déterminer un vecteur normal au plan défini par les vecteurs u(1,0,1) et v(0,1,−1).
Corrigés
Corrigé 1 — AB = (2,1,−3) ; AC = (−2,2,−2).
Corrigé 2 — Il n’existe pas de réel k tel que AC = k·AB (2 = 2k donnerait k = −1, mais 2 ≠ 1×(−1) pour la 2ᵉ coordonnée) : les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B, C ne sont pas alignés.
Corrigé 3 — ‖u‖ = √(4+1+4) = √9 = 3.
Corrigé 4 — I = (2, 2, 3).
Corrigé 5 — u · v = 2 − 2 + 0 = 0 : u et v sont orthogonaux.
Corrigé 6 — On cherche a, b tels que w = a u + b v : (2,3,1) = (a, a+b, b). D’où a = 2, b = 1, et on vérifie a+b = 3 : la relation est satisfaite, donc u, v, w sont coplanaires.
Corrigé 7 — On cherche n(x,y,z) tel que n·u = 0 et n·v = 0, soit x+z = 0 et y−z = 0. En prenant z = 1 : x = −1, y = 1. n(−1,1,1) convient (on vérifie n·u = 0 et n·v = 0).
