Après avoir étudié les vecteurs dans le plan, on généralise cette notion à l’espace. Les vecteurs de l’espace permettent de manipuler algébriquement des situations géométriques en trois dimensions (cubes, tétraèdres, prismes…) : combinaisons linéaires, colinéarité, coplanarité, repérage par des coordonnées, et enfin le produit scalaire qui généralise à l’espace la notion d’orthogonalité et de norme. Ce chapitre prépare directement le suivant, consacré à la géométrie analytique de l’espace (plans, droites, sphères).
Vecteurs de l’espace : généralités et relation de Chasles
Définition. Comme dans le plan, à tout couple de points (A, B) de l’espace on associe un vecteur AB, caractérisé par une direction, un sens et une longueur (sa norme, notée ‖AB‖). Deux vecteurs AB et CD sont égaux si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). Les opérations (somme de deux vecteurs, produit d’un vecteur par un réel) et la relation de Chasles AB + BC = AC se prolongent sans changement de l’espace plan à l’espace.
Exemple entièrement traité. Soit ABCDEFGH un parallélépipède (les faces ABCD et EFGH sont des parallélogrammes parallèles, avec AE, BF, CG, DH arêtes « verticales » de même vecteur). Montrons que AG = AB + AD + AE. Par la relation de Chasles : AG = AC + CG. Or AC = AB + AD (relation de Chasles dans le parallélogramme ABCD, puisque BC = AD). De plus, comme ABCDEFGH est un parallélépipède, l’arête CG est parallèle et de même longueur que l’arête AE, avec le même sens : CG = AE. On obtient donc AG = AB + AD + AE, ce qui est la règle du parallélépipède.
Repère de l’espace et coordonnées
Définition. Un repère (O ; i, j, k) de l’espace est constitué d’un point O et de trois vecteurs non coplanaires i, j, k. Tout vecteur u de l’espace se décompose de façon unique sous la forme u = x·i + y·j + z·k ; (x ; y ; z) sont les coordonnées de u. Les coordonnées d’un point M sont celles du vecteur OM. Pour A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), le vecteur AB a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA ; zB – zA), et le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ; (zA+zB)/2).
Exemple entièrement traité. Soient A(1 ; -2 ; 3) et B(3 ; 0 ; -1). Le vecteur AB a pour coordonnées (3 – 1 ; 0 – (-2) ; -1 – 3) = (2 ; 2 ; -4). Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((1+3)/2 ; (-2+0)/2 ; (3+(-1))/2) = (2 ; -1 ; 1).
Vecteurs colinéaires et coplanarité
Définitions. Deux vecteurs u et v (u non nul) sont colinéaires s’il existe un réel k tel que v = k·u. Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires si l’un d’eux est une combinaison linéaire des deux autres, c’est-à-dire s’il existe des réels a et b tels que w = a·u + b·v (lorsque u et v ne sont pas colinéaires). Quatre points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs AB, AC, AD sont coplanaires.
Exemple entièrement traité. Les vecteurs u(1 ; -1 ; 2), v(2 ; 0 ; -1) et w(0 ; -2 ; 5) sont-ils coplanaires ? On cherche a et b tels que w = a·u + b·v, ce qui donne le système : a + 2b = 0 (première coordonnée) ; -a = -2 (deuxième coordonnée) ; 2a – b = 5 (troisième coordonnée). La deuxième équation donne a = 2. En reportant dans la première : 2 + 2b = 0, donc b = -1. On vérifie avec la troisième équation : 2×2 – (-1) = 4 + 1 = 5, ce qui est bien vérifié. Le système est donc cohérent : w = 2u – v, et les trois vecteurs sont coplanaires.
Produit scalaire dans l’espace
Définition et expression analytique. Comme dans le plan, si u et v sont deux vecteurs non nuls de l’espace, u·v = ‖u‖×‖v‖×cos(u, v) (et u·v = 0 si l’un des vecteurs est nul). Dans un repère orthonormé de l’espace, si u(x ; y ; z) et v(x’ ; y’ ; z’), alors u·v = xx’ + yy’ + zz’, et la norme de u vaut ‖u‖ = √(x² + y² + z²). Propriété fondamentale : deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si u·v = 0.
Exemple entièrement traité. Soient u(1 ; 2 ; -2) et v(3 ; -1 ; 2). On calcule u·v = 1×3 + 2×(-1) + (-2)×2 = 3 – 2 – 4 = -3. Les normes valent ‖u‖ = √(1+4+4) = √9 = 3 et ‖v‖ = √(9+1+4) = √14. Comme u·v est négatif, l’angle entre u et v est obtus (on aurait cos(u,v) = -3/(3√14) = -1/√14).
Applications du produit scalaire : orthogonalité et distances
Distance entre deux points. Dans un repère orthonormé, pour A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) : AB = ‖AB‖ = √[(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²]. Le produit scalaire permet aussi de démontrer qu’un triangle est rectangle, en montrant que deux de ses côtés (vus comme vecteurs) sont orthogonaux.
Exemple entièrement traité. Soient A(0 ; 0 ; 0), B(2 ; 1 ; -1) et C(1 ; -2 ; 0). On a AB(2 ; 1 ; -1) et AC(1 ; -2 ; 0). Calculons AB·AC = 2×1 + 1×(-2) + (-1)×0 = 2 – 2 + 0 = 0. Les vecteurs AB et AC sont donc orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A. Vérifions par le théorème de Pythagore : AB² = 4+1+1 = 6, AC² = 1+4+0 = 5. On calcule BC = C – B = (1-2 ; -2-1 ; 0-(-1)) = (-1 ; -3 ; 1), donc BC² = 1+9+1 = 11. On a bien AB² + AC² = 6 + 5 = 11 = BC², ce qui confirme le résultat.
Exercices
1. Soit ABCD un tétraèdre. Simplifier l’expression vectorielle V = AB + BC + CD + DA.
2. Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD]. Démontrer que IJ = (1/2)(AC + BD).
3. Dans un repère de l’espace, on donne A(2 ; -1 ; 3), B(-1 ; 4 ; 0) et C(0 ; 2 ; -2). Calculer les coordonnées de G, centre de gravité du triangle ABC (G = (A+B+C)/3), calculer les coordonnées du vecteur AB, puis sa norme.
4. Soient u(2 ; -3 ; 1) et v(-1 ; 2 ; 4). Calculer u·v, ‖u‖ et ‖v‖, en déduire cos(u, v) sous forme exacte simplifiée, et préciser si l’angle est aigu ou obtus.
5. Soient A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; -1 ; 1) et C(2 ; 2 ; 2). Montrer que le triangle ABC est rectangle en A, puis vérifier ce résultat à l’aide du théorème de Pythagore.
6. ABCDEFGH est un cube d’arête a, de base ABCD, avec E, F, G, H les sommets tels que AE, BF, CG, DH soient les arêtes verticales (E au-dessus de A, etc.). On munit l’espace du repère orthonormé (A ; AB, AD, AE) (on prendra a = 1 pour les calculs). Donner les coordonnées de tous les sommets du cube, calculer les coordonnées du vecteur AG, en déduire la longueur de la diagonale AG, puis montrer que les droites (AG) et (BD) sont orthogonales.
7. Dans un repère de l’espace, on donne A(1 ; 1 ; 0), B(2 ; 0 ; 1), C(0 ; 2 ; 1) et D(m ; 1 ; 2) où m est un paramètre réel. Déterminer la valeur de m pour laquelle les points A, B, C, D sont coplanaires.
Corrigés
1. Par la relation de Chasles, on regroupe successivement : AB + BC = AC, puis AC + CD = AD, puis AD + DA = 0 (car DA = -AD). Donc V = AB + BC + CD + DA = 0 : c’est le vecteur nul, ce qui est cohérent puisque le trajet A→B→C→D→A revient à son point de départ.
2. On écrit IJ de deux façons différentes à l’aide de la relation de Chasles : IJ = IA + AC + CJ (en passant par A puis C) et IJ = IB + BD + DJ (en passant par B puis D). En additionnant membre à membre : 2·IJ = (IA + IB) + (AC + BD) + (CJ + DJ). Or, I étant le milieu de [AB], on a IA + IB = 0 ; de même, J étant le milieu de [CD], CJ + DJ = -(JC + JD) = 0. Il reste donc 2·IJ = AC + BD, soit IJ = (1/2)(AC + BD), ce qu’il fallait démontrer.
3. Les coordonnées de G sont la moyenne des coordonnées de A, B, C : xG = (2 + (-1) + 0)/3 = 1/3 ; yG = (-1 + 4 + 2)/3 = 5/3 ; zG = (3 + 0 + (-2))/3 = 1/3. Donc G(1/3 ; 5/3 ; 1/3). Le vecteur AB a pour coordonnées (-1 – 2 ; 4 – (-1) ; 0 – 3) = (-3 ; 5 ; -3), et sa norme vaut ‖AB‖ = √((-3)² + 5² + (-3)²) = √(9 + 25 + 9) = √43.
4. On calcule u·v = 2×(-1) + (-3)×2 + 1×4 = -2 – 6 + 4 = -4. Les normes valent ‖u‖ = √(4+9+1) = √14 et ‖v‖ = √(1+4+16) = √21. On a donc cos(u,v) = -4 / (√14 × √21) = -4/√294. Comme 294 = 49 × 6, √294 = 7√6, donc cos(u,v) = -4/(7√6) = -4√6/42 = -2√6/21 (après avoir multiplié numérateur et dénominateur par √6). Cette valeur étant négative, l’angle entre u et v est obtus.
5. On calcule AB = B – A = (3-1 ; -1-0 ; 1-2) = (2 ; -1 ; -1) et AC = C – A = (2-1 ; 2-0 ; 2-2) = (1 ; 2 ; 0). Le produit scalaire AB·AC = 2×1 + (-1)×2 + (-1)×0 = 2 – 2 + 0 = 0. Les vecteurs AB et AC sont donc orthogonaux, ce qui prouve que le triangle ABC est rectangle en A. Vérification par Pythagore : AB² = 4+1+1 = 6, AC² = 1+4+0 = 5. On calcule BC = C – B = (2-3 ; 2-(-1) ; 2-1) = (-1 ; 3 ; 1), donc BC² = 1+9+1 = 11. On a bien AB² + AC² = 6 + 5 = 11 = BC², ce qui confirme le caractère rectangle en A.
6. En prenant a = 1, les coordonnées des sommets sont : A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), E(0;0;1), F(1;0;1), G(1;1;1), H(0;1;1). Le vecteur AG a pour coordonnées (1-0 ; 1-0 ; 1-0) = (1 ; 1 ; 1), donc sa norme vaut ‖AG‖ = √(1+1+1) = √3. Pour une arête de longueur a quelconque, ce résultat se généralise en AG = a√3 (par un simple facteur d’échelle). Le vecteur BD a pour coordonnées (0-1 ; 1-0 ; 0-0) = (-1 ; 1 ; 0). On calcule AG·BD = 1×(-1) + 1×1 + 1×0 = -1 + 1 + 0 = 0 : les vecteurs AG et BD sont orthogonaux, donc les droites (AG) et (BD) sont orthogonales (il s’agit ici de droites non coplanaires, orthogonales sans être sécantes).
7. On calcule AB = B – A = (2-1 ; 0-1 ; 1-0) = (1 ; -1 ; 1), AC = C – A = (0-1 ; 2-1 ; 1-0) = (-1 ; 1 ; 1) et AD = D – A = (m-1 ; 1-1 ; 2-0) = (m-1 ; 0 ; 2). On vérifie d’abord que AB et AC ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles), donc (AB, AC) forme une base du plan (ABC). On cherche a et b réels tels que AD = a·AB + b·AC, ce qui donne le système : m – 1 = a – b (première coordonnée) ; 0 = -a + b (deuxième coordonnée) ; 2 = a + b (troisième coordonnée). La deuxième équation donne b = a. En reportant dans la troisième : a + a = 2, donc a = 1 et b = 1. En reportant dans la première : m – 1 = 1 – 1 = 0, donc m = 1. Pour cette valeur, AD = AB + AC, ce qui confirme que A, B, C, D sont coplanaires.
