I. Notion de vecteur
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par trois éléments : une direction (la droite qui le porte), un sens (représenté par une flèche) et une longueur (aussi appelée norme).
On note un vecteur qui va d’un point A vers un point B par une lettre surmontée d’une flèche, par exemple le vecteur AB. Ce vecteur a pour direction la droite (AB), pour sens de A vers B, et pour longueur la distance AB.
II. Vecteurs égaux
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Concrètement, si ABDC est un parallélogramme (ou un parallélogramme aplati), alors le vecteur AB est égal au vecteur CD.
III. La translation
La translation de vecteur u transforme un point M en un point M’ tel que le vecteur MM’ soit égal au vecteur u.
Chaque point de la figure se déplace donc de la même façon : même direction, même sens et même longueur de déplacement.
IV. Propriétés de la translation
La translation conserve les longueurs : l’image d’un segment est un segment de même longueur.
La translation conserve aussi le parallélisme et l’alignement des points : l’image d’une droite est une droite parallèle (ou confondue), et des points alignés ont des images alignées.
Une figure et son image par translation sont donc superposables : elles ont la même forme et la même taille.
V. Méthode : construire l’image d’une figure par translation
1) Identifier le vecteur de translation (direction, sens et longueur).
2) Pour chaque point clé de la figure, tracer un vecteur de même direction, même sens et même longueur que le vecteur de translation.
3) Marquer le point image obtenu à l’extrémité de chaque vecteur tracé.
4) Relier les points images entre eux pour reconstituer la figure complète.
5) Vérifier le résultat à l’aide des propriétés de la translation (longueurs conservées, parallélisme conservé).
Exercices
Exercice 1 : ABCD est un parallélogramme. Que peut-on dire des vecteurs AB et DC ? Justifie ta réponse.
Exercice 2 : Un point M est transformé en M’ par une translation de vecteur u de longueur 6 cm. Quelle est la longueur MM’ ? Justifie en citant la définition de la translation.
Exercice 3 : Le triangle ABC a un périmètre de 15 cm. On applique une translation de vecteur v pour obtenir le triangle A’B’C’. Quel est le périmètre de A’B’C’ ? Justifie.
Exercice 4 : Un segment [AB] mesure 7 cm. Son image par une translation est le segment [A’B’]. Que peut-on dire de la position des droites (AB) et (A’B’) ?
Exercice 5 : Le point A(2 ; 3) est transformé en A'(5 ; 7) par une translation de vecteur u. Quelles sont les coordonnées de B’, image du point B(0 ; 1) par cette même translation ?
Corrigés
Corrigé 1 : Dans un parallélogramme ABCD, les côtés [AB] et [DC] sont parallèles, de même longueur, et parcourus dans le même sens (de A vers B comme de D vers C). Le vecteur AB a donc la même direction, le même sens et la même longueur que le vecteur DC : ils sont égaux.
Corrigé 2 : Par définition de la translation, le vecteur MM’ est égal au vecteur u. Deux vecteurs égaux ont la même longueur, donc MM’ = 6 cm.
Corrigé 3 : La translation conserve les longueurs : chaque côté du triangle A’B’C’ a la même longueur que le côté correspondant du triangle ABC. Le périmètre de A’B’C’ est donc aussi égal à 15 cm.
Corrigé 4 : La translation conserve le parallélisme. La droite (A’B’), image de la droite (AB), est donc parallèle à (AB), ou confondue avec (AB) si le vecteur de translation a lui-même la même direction que (AB).
Corrigé 5 : Le vecteur de translation u a pour coordonnées (5 − 2 ; 7 − 3) = (3 ; 4). Le point B’ a donc pour coordonnées (0 + 3 ; 1 + 4) = (3 ; 5).
